Re: [obm-l] Algebra Linera

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

> Prezado felipe, muito obrigado pela sua aten��o.
> creio que na minha primeira pergunta eu n�o fui claro.

  Sem problemas. Se me permite vou fazer uma tentativa...

> Sendo V um espa�o vetorial de dimens�o n. Se tomarmos um conjunto X 
> linearmente independente com n vetores desse espa�o.
> � poss�vel afirmar que esse conjunto X � uma base do espa�o vetorial V ?
> ou seja num espa�o vetorial de dimens�o n qualquer conjunto de vetores LI 
> com n vetores ser� uma base desse espa�o?

  Seja X o conjunto LI de n vetores(x_i, i=1..n). Como dim(V) = n, sabemos 
que qualquer conjunto com mais de n elementos ser� LD. Seja v um elemento 
de (V-X) nao nulo e seja Y = X U {v}. Entao Y � LD.

=> Existem a_i, i=1..(n+1) no corpo (o coitado nao ganhou nem um nome) nao 
todos nulos tais que

  soma( a_i*x_i, i=1..n ) + a_(n+1)*v = 0

Suponha a_(n+1) = 0, entao a_i = 0 para 1<=i<=n pois X � LI.
Isto contradiz o fato de nem todos os a_i serem nulos. Logo a_(n+1) != 0.

Entao v = (1/a_(n+1)) * (-soma(a_i*x_i,i=1..n)) = soma( -(a_i/a_(n+1)) * 
x_i, i=1..n ).
Ou seja, v pertence ao conjunto gerado por X. Obviamente qualquer vetor em 
X tamb�m pode ser gerado por X. Ah, e o vetor nulo tamb�m... Ent�o qualquer 
elemento de V pode ser gerado por X.
Isto, juntamente com o fato de X ser LI significa que X � uma base. Hmmmm, 
ser� que isto vale tamb�m para espa�os de dimens�o infinita ?

   Espero ter ajudado e nao ter cometido nenhum engano.

   []s
   Felipe

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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