Re: [obm-l] Equações diofantinas polinomiais

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Equações diofantinas polinomiais

on 02.09.03 20:27, Cleiton Diniz Silva at cleitondiniz@directnet.com.br wrote:

> Estou precisando resolver equações diofantinas polinomiais
>  
> A(z)X(z) + B(z)Y(z) = C(z)
>  
> onde A(z), B(z) e C(z) são polinômios conhecidos e X(z) e Y(z) são polinômios desconhecidos.
>  
> Alguém saberia onde eu poderia encontrar material para estudar o assunto acima??
>  
> Grato por qualquer ajuda.

Pegue qualquer livro de teoria dos numeros e nos primeiros 2 ou 3 capitulos voce vai se deparar com equacoes diofantinas lineares em INTEIROS. Bem, com polinomios eh a mesma coisa, ou seja:

A equacao acima terah solucao se e somente se MDC(A(z),B(z)) dividir C(z), ou seja, se existir um polinomio Q(z) tal que C(z) = Q(z)*MDC(A(z),B(z)). 

Nesse caso, voce pode usar o algoritmo euclideano (tambem descrito no livro de teoria dos numeros - o a.e. para polinomios eh identicao ao a.e. para inteiros. A unica diferenca eh que ao inves de dividir inteiros voce estarah dividindo polinomios) para achar dois polinomios R(z) e S(z) tais que:
A(z)*R(z) + B(z)*S(z) = MDC(A(z),B(z)). 

Isso quer dizer que:
A(z)*R(z)*Q(z) + B(z)*S(z)*Q(z) = C(z), ou seja:
X0(z) = R(z)*Q(z) 
Y0(z) = S(z)*Q(z) eh uma solucao particular da sua equacao diofantina.

A solucao geral serah:
X(z) = X0(z) - K(z)*B(z)
Y(z) = Y0(z) + K(z)*A(z), onde K(z) eh um polinomio qualquer.

Espero que isso ajude.

Um abraco,
Claudio.