Re: [obm-l] Polinômio

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caros Salvador e Nicks,
   Ha' uma prova desse fato no livro "Chebyshev Polynomials", de T. Rivlin,
(pag. 123) mas nao e' muito trivial. Ele se refere a esse resultado como o
teorema de A. A. Markov. Estou pensando para ver se consigo uma prova que
seja mais facil de escrever. De qualquer jeito o resultado e' o melhor
possivel: se P_n e' o polinomio tal que P_n(cos(x))=cos(nx), entao P_n leva
[-1,1] em [-1,1] e P_n'(1)=n^2.
   Depois ele prova (de um jeito mais complicado) o fato analogo para
derivadas de ordens superiores, que ele diz que e' devido a V. A. Markov,
irmao do outro Markov: se f e' um polinomio de grau n como abaixo entao 
|f^(k)(x)|<=P_n^(k)(1) para todo k e todo x em [-1,1], onde esse ^(k) denota    
k-esima derivada.
   Abracos,
             Gugu

>
>
>
>Oi gente,
>
>alguem tentou fazer esse problema? Nao eh bolinho...
>
>
>Um abraco,
>
>Salvador
>
>
>On Tue, 19 Aug 2003, fnicks wrote:
>
>> Olá pessoal,
>> 
>> 
>> Poderiam me ajudar no problema a seguir ?
>> 
>> 
>> Considere o polinômio f(x) = A0 +A1(x) +A2(x^2) +A3(x^3)+...+ 
>> An(x^n) tal que 
>> 
>> 
>> f(x) está o intervalo [-1,1] ; para todo x no intervalo [-
>> 1,1].
>> 
>> 
>> Prove que a derivada de f(x) está no intervalo [-n^2 ,n^2] .
>> 
>> 
>> 
>> Nota : A0 , A1 , A2 , ..., An são os coeficientes do 
>> polinômio .
>> 
>> 
>> 
>> []´s  Nicks
>> 
>>  
>> ---
>> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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