Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos

[e_lema@xxxxxxxxx]

Ol�, Cl�udio: 
O problema, � que ao copiar a solu��o do bloco de notas, e col�-la na 
mensagem, ela embaralhou toda, v� se assim fica melhor, as corre��es foram 
feitas diretamente na mensagem original: 

Em 7 Aug 2003, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 

>Oi, e_lema (qual o seu nome?): 
> 
>Meus coment�rios est�o ao longo da sua mensagem. 
> 
>Um abra�o, 
>Claudio. 
> 
>----- Original Message ----- 
>From: 
>To: 
>Sent: Wednesday, August 06, 2003 8:21 PM 
>Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos 
> 
>> Cl�udio obrigado pelas corre��es, e aqui vai a solu��o, gostaria 
>procurasse 
>> erros nela, ou tentasse simplific�-la. 
>> 
>> N�o h� quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 dever� ser o 1� alg. 
>da 
>> esq. p/ dir. 
>> Sendo assim os n�meros do tal conjunto dever�o ser da forma 
300...0n00...0 
>> ou 
>> W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as inc�gnitas inteiras 
>> n�o-negativas, onde n 
>> s� poder� assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9 
> 
>At� aqui, estou 100% de acordo. 
>De fato, numa mensagem anterior voc� provou que o �nico quadrado com n = 6 
� 
>o 36. 
>Al�m disso, usando congru�ncia mod 9, tamb�m eliminamos o 5 e o 9, da 
>seguinte forma: 
> 
>Os quadrados (mod 9) s�o: 0, 1, 4 e 7. 
>Como W � quadrado e W == 3+n (mod 9), teremos que: 
>3+n == 0, 1, 4 ou 7 (mod 9) ==> 
>n == 6, 7, 1 ou 4 (mod 9) ==> 
>(dado que n pertence a {1,4,5,6,9}) n s� pode ser 1, 4 ou 6 ==> 
>(em virtude da sua an�lise do caso n = 6) n s� pode ser 1 ou 4. 
> 
>Resumindo, o problema � provar que n�o existem quadrados da forma: 
>3*10^p + 1 e 3*10^p + 4. 
> 
>> Provemos agora que p s� pode ser zero. 
>> 
>> W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo: 
>> q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :. 
> 
>Voc� deveria ter escolhido outra letra que n�o "q", pois esta j� estava 
>sendo usada pra representar o n�mero de zeros � direita (em 10^(2q)), mas 
>tudo bem... foi mal, nem vi. 
> 
>O problema come�a a partir daqui, onde voc� introduz expoentes 
possivelmente 
>irracionais (o que � um pouco inusitado para este problema, mas pode at� 
dar 
>certo no final) e a formata��o/tabula��o est� bem dif�cil de entender....Se 
>voc� puder dar uma limpada no argumento e na formata��o eu agradeceria. 
> 
>> q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais 
>> temos dois casos poss�veis: 
 t>=s    q+n^0,5=3*10^t e q-n^0,5=10^s  sistema 1 

                     ou 

 t<s     q+n^0,5=10^s e q-n^0,5=3*10^t  sistema 2 

 Logo, s� temos 2 valores poss�veis para q: 
     t>=s  a-)q=3*10^t+n^0,5 ou ; t<s  b-)q=10^s+n^0,5 


>> a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n 
   b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n 
>> 
>> a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo, 
   pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0 
>> Desse jeito 
q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n 
>> q*q s� ser� inteiro se n*3*10^(a) o for tamb�m. Mas nehum dos valores 
>> poss�veis de n 
>> faz essa condi��o ser obedecida. Da�, hip�tese a � falsa. 
>> 
>> b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0 
>> Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora reca�mos no caso anterior, 
>> logo a 
>> hip�tese b tamb�m � falsa 
>> 
>> Disso conclu�mos que no n�mero W=300...0n00...0, entre 3 e n n�o deve 
>haver 
>> zeros, com isso 
>> W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6 
>> 
>> Logo a resposta ser�: 
>> 
>> 3600...0, onde o n� de zeros � par, ou 3,6*10^(2q+1); q>=0 e q inteiro 
>> 
>> Caso n�o tenha entendido, volte aos sistemas 1 e 2, e resolv�-os 
admitindo f=1 ou f=4, s� que isso d� uma solu��o um pouco grande... 

   Um abra�o, 
>  Eduardo 
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>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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