Re: [obm-l] primos...

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jul 30, 2003 at 02:53:21AM -0400, DEOLIVEIRASOU@aol.com wrote:
> Prove que existem infinitos primos congruos a 3 m�dulo 4......
>     Um abra�o,
>               Crom

Sejam p1, p2, ..., pn alguns primos congruos a 3 m�dulo 4.
Tome N = 4*p1*p2*...*pn - 1; N � congruo a 3 m�dulo 4 logo
admite pelo menos um fator primo q congruo a 3 m�dulo 4.
Por outro lado nenhum dos pi pode ser fator de N assim q
� diferente de p1, p2, ..., pn. Isto nos d� um algoritmo
(muito ineficiente) para obter uma lista infinita de primos
distintos congruos a 3 m�dulo 4.

Este � um caso particular f�cil do teorema de Dirichlet:
se a e b s�o primos entre si ent�o existem infinitos
primos da forma ak + b. Outro caso particular bem f�cil
� (a,b) = (6,5). Casos um pouco menos f�ceis mas ainda
elementares s�o (4,1) e (6,1); o problema 6 da IMO tem
bastante a ver com o caso (p,1), p primo. Existe uma
demonstra��o do caso b = 1, a qualquer, que usa polin�mios
ciclot�micos e ainda � de certa forma elementar. O caso
geral usa teoria anal�tica dos n�meros.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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