LEGAL<LEGAL<LEGAL!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Consegui fechar o problema 3 da IMO!!!!!!!!!!Confiram ai pra ver se nao tem nenhum erro.
Agrade�o ao Paulo Santa Rita pelas suas dicas de vetores e ao Marcio Afonso Assad Cohen pela ideia de usar desigualdades(e ao problema cinco da IMO da India pela fabulosa ideia) e ao Tengan por ter me ensinado a aplicar a tecnica "leve tudo ate as ultimas consequencias!!!".
O nosso hexagono tera o nome bastante original de ABCDEF cujos pontos medios sao o hexagono nao menos original MNPQRS,com M em AB,N em BC e assim por diante.
O enunciado afirma que MQ=(raiz(2) 3)/2 *(AB+DE)= e assim por diante.Devemos mostrar que o hexagono e equiangulo.
Seja t=sen 30�=COS 60�=(raiz(2) 3)/2.
Come�aremos demonstrando que os lados opostos s�o paralelos.
Considere a origem em qualquer lugar.O ponto medio de AB e (A+B)/2 entao o vetor que liga os pontos medios de AB e DE e (A+B-D-E)/2.Assim |A+B-D-E|>=2t*(|A-B|+|D-E|).Para melhorar a jo�a vamos tentar usar a desigualdade triangular para vetores.Sabemos que |A-B|+|D-E|>=|A-B-D+E| com igualdade se e somente se AB//DE(entendeu o paralelismo ai?).Assim |AD+BE|>=2t|AD-BE|.
Quadrando e usando produto interno euclidiano:
<AD,AD>+2<DA,EB>+<EB,EB> >=
3*(<AD,AD>-2<DA,EB>+<EB,EB>) ou equivalentemente <AD,AD>+<EB,EB> <=4*<AD,EB>.Analogamente
<EB,EB>�+|FC,FC|�<=4*<EB,FC>
<FC,FC>�+<AD,AD>�<=-4*<FC,DA>.
Somando,obtemos 2*(DA-EB+FC)�<=0.Logo
DA-EB+FC=0,e os lados opostos s�o paralelos(verifique as igualdades!).
0=A-D-B+E+C-F=BA+DC+FE,logo os vetores AB,CD e EF podem fechar um triangulo.Isto ja e mais um ponto ao nosso favor!
Se transladarmos EF na dire��o ED,obtemos CG no prolongamento do lado BC,devido ao paralelismo.Em miudos, desenhamos os paralelogramos ADCH,ABEI,CFEG.Devido aos paralelismos produzimos um tri�ngulo GHI com o nosso ABCDEF dentro.Basta demonstrar que o triangulo GHI e equilatero.Para tal:
DEVER DE CASA:cada mediana de um certo triangulo mede
sen 60� vezes o lado correspondente.Calcule os angulos do triangulo.(DICA:umas SLCs podem ajudar,ou use Stewart)
A PARTIR DAQUI FA�A UM BOM DESENHO!
Os triangulos HAB,FIE,CDG e HIG s�o semelhantes por paralelismo.E pelo mesmo motivo os tres primeiros triangulos sao congruentes e homoteticos ao quarto(se lembra dos vetores?).Assim IE=DG e EQ=DQ,logo IQ=QG e assim sendo Q e ponto medio de GI.Pela homotetia e visivel que H,M,Q se alinham.
Vamos calcular a razao HQ/IG:
HQ/IG=HM/AB=(HM-HQ)/(AB-GI)=MQ/(AB+DE)=cos 60�,e de acordo com o dever de casa(voce fez?),COMEMORE!!!!!!
Sera que ressa vai pra Eureka! ?Vou enviar JA!!!!!!!
UM ABRA�AO!!!!!Ass.:Johann