Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Frederico e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

O Teorema de Bolzano a que me referi e o seguinte :

TEOREMA DE BOLZANO : Se Y=P(X) e um polinomio real de coeficientes reais 
definido no intervalo
]a,b[ entao :

1) Se o sinal de P(a) e igual ao sinal de P(b) ha um numero par de raizes no 
intervalo ]a,b[
( podendo ser 0 raizes )
2) Se o sinal de P(a) e diferente do sinal de P(b) entao ha um numero impar 
de raizes

Existem muitas coisas interessantes para serem vistas aqui, muitas das quais 
dependentes de algum conhecimento mais aprofundado. Por exemplo. A equacao :

Z^7 + 5bar(Z)^4 + Z = 0

tem 17 solucoes... E verdade ! 17 solucoes ! E a abordagem disso segue as 
pegadas do Gauss, ao abordar os sistemas R(a,b) e C(a,b) aos me referi. Mas 
e dificil falar sobre isso sem pressupor algum conhecimento alem do nivel da 
graduacao.

Nao sei ate onde voce estudou, mas talvez voce consiga ler o trabalho :

http://www.arxiv.org/abs/math.na/0209097

Muito provavelmente, dentre todos os Matematicos do Mundo, o Prof Nicolau 
Saldanha, nosso moderador, e o cara que melhor entende destas coisas e de 
suas implicacoes. Para nos Brasileiros e, em particular, nos aqui desta 
lista, isso e motivo de muito orgulho.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1129,220703

>From: "Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
>Date: Tue, 22 Jul 2003 10:14:37 -0300
>
>Olá Paulo, bom ter reenviado a prova de Cauchy. Acaso o Teorema de Bolzano 
>a que se refere é o tb conhecido como Teorema do Valor Intermediário ( ou 
>em realidade algo equivalente a ele ) ? Se não, qual o enunciado?
>
>Obrigado,
>FRederico.
>
>
>>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
>>Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +0000
>>
>>Ola Pessoal,
>>
>>Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY  para o Teorema
>>Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo 
>>com
>>pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros 
>>do
>>ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel 
>>por
>>um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de 
>>forma que
>>qualquer pessoa possa entender.
>>
>>Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa 
>>a
>>prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar 
>>aqui, por
>>obvias razoes.
>>
>>A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se 
>>everdade
>>que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o 
>>seu modulo
>>e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer 
>>este
>>absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o 
>>modulo do
>>polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas 
>>evidenciara
>>o absurdo. O resto e detalhe.
>>
>>Segue a Prova de Cauchy :
>>
>>Seja  P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An  um polinomio no 
>>qual os
>>coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e 
>>uma
>>variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
>>
>>P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
>>
>>Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
>>
>>Como, por definicao, modulo( P(X) ) >= 0. Segue que M >= 0. Portanto, M 
>>pode
>>ser
>>
>>PRIMEIRO CASO : M = 0.
>>
>>Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
>>P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta 
>>concluida.
>>
>>SEGUNDO CASO : M > 0.
>>
>>Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
>>plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto 
>>Z na
>>circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um 
>>vetor,
>>soma dos vetores :
>>
>>Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
>>Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
>>
>>Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
>>
>>Z = Z0 + Z1
>>
>>Calculando agora P(Z), teremos :
>>P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1) 
>>+ An
>>Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o 
>>Binomio
>>de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0, 
>>An nas
>>quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara 
>>Z1 :
>>
>>1) Sozinho, sem que apareca Z0.  Exemplos :
>>A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
>>2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
>>BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
>>onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
>>
>>Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
>>P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
>>onde cada Bi e uma constante ou um  polinomio em Z0.
>>
>>Claramente que dependendo dos Ai originais, de "n" e do valor de Z0, 
>>alguns destes
>>Bi poderao ser nulos. Se, alem de eliminar os Bi nulos, ordenarmos o 
>>polinomio em Z1
>>resultante segundo as potencias crescentes de Z1, renomeando a seguir os 
>>Bi por C's,
>>teremos algo semelhante a :
>>
>>P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a) + C2*(Z1^b) + ... + Cp*(Z1^w).
>>
>>Nesta ultima expressao acima :
>>
>>1) Nenhum dos Ci e nulo, por construcao.
>>2) a < b < c < ... < w, em virtude da ordenacao
>>3) p <= n, obvio.
>>
>>Colocando C1*(Z1^a) em evidencia :
>>P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... + 
>>(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
>>Como estamos supondo P(Z0) > 0, podemos dividir tudo po P(Z0). Dividindo :
>>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... + 
>>(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
>>
>>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... + 
>>(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
>>Fazendo C1/P(Z0) = k :
>>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... + 
>>(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
>>
>>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1  +  k*[(Z1^a)*( 1 + Z1*F(Z1) )
>>onde F(Z1) e uma funcao ( um polinomio ) em Z1.
>>
>>Claramente que sao numeros complexos tanto "k" quanto Z1, podendo portanto 
>>serem
>>colocados na forma trigonometrica, isto e :
>>
>>k = P*( cosQ + i*senQ )   e   Z1 = R( cosS + i*senS )
>>Portanto : k*(Z1^a) = P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) ). Dai :
>>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) )*( 1 + 
>>Z1*F(Z1) )
>>
>>PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI : Z0 e fixo. Ele e o complexo que torna 
>>modulo( P(Z) )
>>minimo. Segue que P(Z0) e um complexo fixo e que C1/P(Z0) tambem o e, pois 
>>C1 e uma constante ou um polinomio em Z0. Mas Z1 nao e fixo. Z1 e UM PONTO 
>>na circunferencia do circulo de centro Z0 e raio R. Portanto, QUALQUER QUE 
>>SEJA Z0, podemos escolher Z1 de forma que Q + aS = pi, qualquer que seja o 
>>natural "a". Assim, existe Z1 tal que Q + aS = pi.
>>E como Z = Z0 + Z1, podemo dizer que EXISTE Z tal que Q+aS = pi.
>>
>>Fazendo a substituicao :
>>
>>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(pi) + i*sen(pi) )*( 1 + Z1*F(Z1) )
>>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 - P(R^a)*( 1 + Z1*F(Z1) ) = 1 - P(R^a) - 
>>P(R^a)*Z1*F(Z1) )
>>
>>Aplicando modulo nos dois lados :
>>
>>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) = modulo ( 1 - P(R^a) - P(R^a)*Z1*F(Z1) ) )
>>
>>A desigualdade modulo(a-b) =< modulo(a) + modulo(b) aplica-se tambem aos 
>>numeros
>>complexos. Aplicando-a :
>>
>>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) )  =<  modulo ( 1 - P(R^a) ) + modulo( 
>>P(R^a)*Z1*F(Z1) )
>>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) )  =<  modulo ( 1 - P(R^a) ) + 
>>P(R^a)*modulo(Z1)*modulo(F(Z1) )
>>
>>mas modulo(Z1) = R. Assim :
>>
>>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) )  =<  modulo ( 1 - P(R^a) ) + 
>>P(R^a+1)*modulo(F(Z1) )
>>
>>PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI. Nos tomamos um Z=Z0+Z1, isto e, escolhemos
>>um Z0 de forma que Q+aS = pi. Ora, Z e um ponto da circunferencia do 
>>circulo de centro
>>Z0 e raio R. Portanto, se diminuirmos R e mantivermos a direcao de Z 
>>estaremos, de fato, como que fazendo um corte no circulo original de raio 
>>R ... Isso ( a dimuicao de R ) vai diminuir
>>P(R^a) e P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ), pois "a" e um numero natural fixo e R 
>>esta diminuindo. Claramente que INEVITAVELMENTE P(R^a) se tornara maior 
>>que P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) para algum R suficientemente pequeno. Quando 
>>isto ocorrer :
>>
>>modulo ( 1 - P(R^a) ) + P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) < 1. Seguira que :
>>
>>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) )  <  1    =>     modulo( P(Z0+Z1) ) <  modulo( 
>>P(Z0))  ... ABSURDO !
>>Pois modulo(P(Z0)) e minimo !
>>
>>Esse absurdo derivou do fato de postularmos que modulo(P(Z0)) > 0. Assim, 
>>esta tese e
>>insustentavel e temos que admitir que :
>>
>>modulo(P(Z0)) = 0   =>  P(Z0) = 0, isto e :
>>
>>TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA : Toda equacao polinomial de qualquer grau 
>>N e com quaisquer coeficientes complexos tem uma raiz.
>>
>>A PRIMEIRA IDEIA DE GAUSS : Em sua primeira demonstracao ( tese de 
>>doutorado ) Gauss substitui cada numero complexo pelo binomio "a+bi" e 
>>divide o polinomio em duas funcoes de duas variaveis : Real(a,b) e 
>>Complexo(a,b). A seguir, tecendo consideracoes geometricas ele mostra que 
>>o sistema :
>>
>>Real(a,b) = 0 e Complexo(a,b) = 0
>>
>>Necessariamente tem uma solucao. Ele nao ficou satisfeito e tentou ffazer 
>>uma prova estritamente algebrica, mas nao conseguiu. Segundo Jean 
>>Dioudonne, Matematico frances do Grupo Boubarki, o TFA depende 
>>necessariamente de consideracoes topologicas e, portanto, a pretensao de 
>>Gauss era infundada.
>>
>>O TFA tem muitas implicacoes. Uma, conhecida como TEOREMA DE BOLZANO, e 
>>muito bonita. Alguem gostaria de mostrar esta implicacao ?
>>
>>Um Abraco a Todos
>>Paulo Santa Rita
>>2,1448,210703
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>>MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
>>http://messenger.msn.com.br
>>
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>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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