Re: [obm-l] Sequencias

[Manuel Valentim Pera <mane@xxxxxxxxxx>]

Boa noite,

  Sobre seq��ncias de n�meros reais que tem a propriedade

> > Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
> >
> > lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
> >



  h� uma coisa a mais que talvez mere�a ser citada:

Vale o seguinte resultado:

  Suponha que a seq��ncia (x_k) de reais tem a propriedade acima.
  Se a � o limite inferior de (x_k) e b � o limite superior de (x_k) (a ou
b podem ser +- infinito) ent�o para todo ponto z pertencente a [a,b]
existe uma subseq��ncia (x_(k_j)) de (x_k) que converge para z.

  (Chame-se a esta propriedade P*)

  A rec�proca disto � falsa, mas vale a seguinte coisa, se (x_k) tem a
propriedade P* existe uma subseq��ncia (x_(k_j)) de (x_k), tal
que (x_(k_j)) tem
mesmo limite inferior que (x_k), mesmo limite superior que (x_k), e a
seq��ncia (x_(k_j)) tem a propriedade

        lim | x_{k_{j+1}} - x_{k_j} | = 0

  As demonstra��es disso eu fiz h� algum tempo atr�s, mas acho mais
divertido deixar para voc�s pensarem.

Manuel Garcia

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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