Re: [obm-l] Nenhuma ajuda mesmo

[gugu@xxxxxxx]

   Cara Alininha,
   Contei esse problema para o Artur Avila, que deu a seguinte solucao: ele
considerou exatamente os seus conjuntos C e D, e assim o teorema de Hahn-Banach
na forma da separacao (qual o enunciado que voce tem dessa forma do teorema de
Hahn-Banach ?) implica a existencia de um funcional linear continuo g(x,t)
definido em X x R tal que g(x,t)>0 para todo (x,t) em D e g(x,y)<=0 para todo
(x,t) em C. Por outro lado, g(x,t)=h(x)+bt, para algum b real nao nulo (se b
fosse 0 teriamos que g(a,t)=h(a) nao dependeria de t, mas se a esta'  em A e t
e'  muito grande entao (a,t) esta'  em D, e, se t e'  muito negativo, (a,t)
esta' em C, absurdo, pois C nao intersecta D, por hipotese). Assim, para todo a
em A, h(a)+b.f(a) <= 0, pois (a,f(a)) pertence a C, e para todo x em X e todo t 
> M||x|| temos h(x)+b.t > 0, pois nesse caso (x,t) pertence a D.b Em particular
b deve ser maior que 0 (senao h(x)+bt ficaria negativo para t muito grande). Da
primeira desigualdade, segue entao que f(a)<=-h(a)/b, e da segunda (fazendo t
tender por cima a M||x||) segue que h(x)+b.M.||x|| >= 0, donde -h(x)/b<=M||x||,
e portanto, se definirmos x*(x)=-h(x)/b, temos que x* e'  um funcional linear em
X* com||x*||<=M tal que f(a)<=x*(a) para todo a em A, cqd.
    Abracos,
             Gugu

Quoting Alininha <alininha1980@bol.com.br>:

> Obrigada Gugu por tentar me ajudar.
> 
> Acho que misturei um pouco o enunciado com a minha 
> tentativa de solução.
> Estava tentando aplicar Hahn-Banhach na forma da 
> separação e para isso eu defini os conjuntos:
> 
> C= { (a,t) tal que a pertence a a e f(a)>= t}
> D= { (x,t) tal que x pertence a X e M||x||<t}
> 
> Onde montrei que C é fechado e convexo, D é aberto e 
> convexo e que C intersecção com D é vazio. Estando assim 
> em condições de aplicar Hahn-Banach na forma da 
> separação o que não consegui. Abaixo reescrevo o 
> enunciado do problema.
> 
> "X é um espaço normado REAL, A é um subconjunto convexo 
> de X com o elemento neutro de X pertencente a A. 
> Consideremos ainda uma função côncava f 
> satisfazendo f(a) <= M ||a|| para todo a em A (||a|| é 
> norma de a).
> Queremos mostrar que existe um elemento x* do dual de X 
> tal que ||x*||<=M e f(a)<=x*(a) com a de A e x de X."
> 
> Aproveito para perguntar um outro problema que acredito 
> seja bem simples também.
> 
> Seja T:X -> Y uma aplicação linear ( X é Banach e Y é 
> normado) e Y* o dual de Y. Mostrar que se 
> y*(T(x)):X -> R é contínua para cada y* pertencente a Y* 
> então T é contínua.
> 
> Mais uma vez Gugu muito obrigada!
> 
> 
> >    Cara Alininha,
> >    Na verdade eu acho que nao entendi bem o seu enuncia
> do: Voce usa o nome A
> > para dois conjuntos: o subconjunto convexo de X dado in
> icialmente e 
> > A= {(a,t) tal que a pertence a a e f(a)
> >= t}. Por outro lado, voce define o
> > conjunto B mas depois nao fala mais nele... A qual conj
> unto A se refere a
> > ultima frase ? Que papel tem o conjunto B no problema ?
> >    Abracos,
> >             Gugu
> > 
> > >
> > >Sei que o problema é um pouco off-topic mas aqui me 
> > >parece o único lugar onde posso obter ajuda para os me
> us 
> > >estudos.
> > >
> > >Qualquer ajuda para resolver o problema abaixo será 
> > >excelente. Já esgotei meu conhecimento.
> > >
> > >-------
> > >Abaixo repito o problema
> > >-------
> > >Acredito que seja uma aplicação imediata do Teorema de
>  
> > >Hahn-Banach na forma da separação, entretanto, como 
> > >surge um produto cartesiano de dois espaços não conseg
> ui 
> > >(para minha tristeza) escrever a solução.
> > >O problema é o seguinte: 
> > >
> > >
> > >"X é um espaço normado REAL, A 
> > >é um subconjunto convexo de X com o elemento neutro de
>  X 
> > >pertencente a A. Consideremos ainda uma função côncava
>  f 
> > >satisfazendo f
> (a) <= M ||a|| para todo a em A (||a|| é 
> > >norma de a) e os subconjunto do produto cartesiano de 
> X 
> > >com R:
> > >A= { (a,t) tal que a pertence a a e f(a)>= t}
> > >B= { (x,t) tal que x pertence a X e M||x||<t}
> > >
> > >Queremos mostrar que existe um elemento x* do dual de 
> X 
> > >tal que ||x*||<=M e f(a)<=x*(a) com a de A e x de X."
> > >
> > >Serei muito grata pela ajuda.
> > >
> > >Alininha
> > >
> > >
> > > 
> > >______________________________________________________
> ____________________
> > >Seleção de Softwares UOL.
> > >10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua famíl
> ia.
> > >http://www.uol.com.br/selecao
> > >
> > >
> > >======================================================
> ===================
> > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar 
> a lista em
> > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >======================================================
> ===================
> > 
> > =======================================================
> ==================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
>  lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > =======================================================
> ==================
> > 
> 
>  
> __________________________________________________________________________
> Seleção de Softwares UOL.
> 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família.
> http://www.uol.com.br/selecao
> 
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 




-------------------------------------------------
This mail sent through IMP: http://horde.org/imp/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================