--- Daniel Pini <daniel@fnn.net> escreveu: > Em um quadrado ABCD de �rea S, os pontos E e F s�o > m�dios dos lados AB e BC. O segmento DF se corta com > AE em M; e o segmento CF se corta com o DE em P e > com AE em N. A �rea do quadrilatero DMNP � ? > R;(no gabarito � 4S/15) Ol� Daniel! Na minha resposta os pontos t�m uns nomes diferentes dos seus, mas estou mandando uma figura e acho que d� pra entender. Coloque o v�rtice D no ponto zero dos eixos cartesianos, com os v�rtices A e C sobre os eixos y e x respectivamente. Chamemos de "L" o lado do quadrado, o que faz com que as coordenadas dos v�rtices sejam: A(0, L), B(L, L), C(L, 0), D(0, 0) Veja a figura que enviei anexada. Nela voc� tamb�m pode ver os pontos m�dios E e F com suas coordenadas (L/2, L) e (L, L/2) respectivamente. Como essa figura � sim�trica, ao tra�armos BD, esse segmento passar� pelo ponto G, e ainda dividir� o quadril�tero cuja �rea estamos procurando em dois tri�ngulos congruentes. Ent�o se acharmos a �rea do tri�ngulo DGH, por exemplo, j� teremos a �rea do quadril�tero procurada, que ser� o dobro da �rea desse tri�ngulo. A reta BD � a reta y = x (� a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (L, L)) e a reta AF � a reta y = -x/2 + L (passa pelos pontos (0, L) e (L, L/2)). E como G � o ponto de intersec��o dessas duas retas, temos que igualar o valor de y das duas equa��es: x = -x/2 + L 3x/2 = L x = 2L/3 Ent�o as coordenadas de G s�o (2L/3, 2L/3). Agora podemos achar as coordenadas do ponto H com a intersec��o das retas AF e DE, cujas equa��es s�o respectivamente: y = -x/2 + L y = 2x E podemos achar as coordenadas do ponto H se igualarmos os valores de y das duas equa��es: -x/2 + L = 2x L = 2x + x/2 5x/2 = L x = 2L/5 Achamos a abcissa de H, agora achamos a ordenada: y = 2x y = 2.2L/5 y = 4L/5 Assim, as coordenadas do ponto H s�o (2L/5, 4L/5). Agora vemos que se chamarmos a �rea que queremos de A, podemos escrever que: A/2 = ABD - AGB - AHD Onde ABD, AGB e AHD s�o as �reas desses 3 tri�ngulos. A �rea de ABD � metade da �rea do quadrado ABCD que tem lado L e portanto �rea igual a L�. Para acharmos a �rea de AGB, chamaremos de base do tri�ngulo o lado AB, que tem medida L. Assim a altura do tri�ngulo ser� a dist�ncia de AB at� G. Como a dist�ncia de G at� o lado CD, que � o eixo x, � de 2L/3 pois este � o valor da sua coordenada y, a dist�ncia de G at� o lado AB ser� 1/3 porque a soma dessas duas dist�ncias tem que dar o tamanho da altura do quadrado, que � L. Agora achamos a �rea do tri�ngulo de base L e altura L/3: AGB = L.(L/3)/2 AGB = L�/6 Para o tri�ngulo AHD, chamaremos de base o lado AD que tem medida L e nesse caso a altura do tri�ngulo ser� a dist�ncia de H at� o lado AD, que � o eixo y, e assim ser� exatamente o valor da coordenada x do ponto H, que � 2L/5. Agora acharemos a �rea do tri�ngulo de base L e altura 2L/5: AHD = L.(2L/5)/2 AHD = L�/5 E agora vamos achar o valor de A que � metade da �rea que temos ao tirar as �reas de AGB e AHD da �rea ABD: A/2 = ABD - AGB - AHD A/2 = L�/2 - L�/6 - L�/5 A/2 = (15L� - 5L� - 6L�)/30 A/2 = 4L�/30 A/2 = 2L�/15 A = 4L�/15 Mas o problema pediu a �rea em fun��o da �rea S do quadrado. Assim, como sabemos que S = L�, podemos escrever que: A = 4S/15 Abra�os, Rafael. _______________________________________________________________________ Yahoo! Mail Mais espa�o, mais seguran�a e gratuito: caixa postal de 6MB, antiv�rus, prote��o contra spam. http://br.mail.yahoo.com/
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