[obm-l] Primos com m�dia 27

> ----- Original Message -----
> From: <peterdirichlet1985@zipmail.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Friday, March 14, 2003 1:24 PM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Primos com m�dia 27(141 e primo?)
>
>
> > Mas desde quando 141=3*47 e primo?
> >
> > -- Mensagem original --
> >
>
>
> Ops! Que mancada!!!! Obrigado, JP.
>
> Veja a solu��o revisada a seguir - � exatamente igual � anterior, s� que em
> vez de parar em 141, que n�o � primo, vai um �nico passo al�m e chega em
> 137, que � primo com certeza!!!
>
> Suponha que existem n primos: P1 < P2 < ... < Pn.
>
> Ent�o, teremos: P1 + ... + Pn = 27*n, e queremos achar Pn.
>
> Os primos menores que 27 s�o 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23. Vamos
> cham�-los de "primos inferiores". Todos os demais ser�o "primos superiores".
>
> A fim de "maximizar" Pn, devemos ter a m�dia composta do maior n�mero
> poss�vel de primos inferiores e do menor n�mero poss�vel de primos
> superiores.

Assim, vamos ver se damos a sorte de ter todos os 9 primos
> inferiores e apenas um primo (Pn) superior inclu�do na m�dia.
>
> 27*10 = 2+3+...+23+Pn = 100+Pn ==> Pn = 170 ==> n�o � primo
>
> Em seguida, podemos eliminar um primo inferior de cada vez, come�ando com o
> mais alto (23):
>
> 27*9 = 2+3+...+19+Pn = 77+Pn ==> Pn = 166 ==> n�o � primo
>
> Al�m disso, a m� not�cia � que eliminando um �nico primo inferior �mpar, n�s
> sempre acharemos um valor par para Pn. Logo, se tivermos que eliminar um
> primo inferior, ele s� pode ser o 2. Vejamos:
>
> 27*9 = 3+5+...+23+Pn = 98+Pn ==> Pn = 145 ==> n�o � primo.
>
> O passo seguinte � eliminar dois primos inferiores de cada vez. Come�ando
> com os dois mais altos (19 e 23), teremos:
>
> 27*8 = 2+3+5+...+17+Pn = 60+Pn ==> Pn = 156 ==> n�o � primo
>
> Al�m disso, da mesma forma que acima, conclu�mos que eliminando qualquer par
> de primos �mpares resultar� em Pn par. Logo, 2 ter� que ser necessariamente
> eliminado.
>
> Vamos eliminar 2 e 23:
> 27*8 = 3+5+...+19+Pn = 75+Pn ==> Pn = 141 ==> n�o � primo (como o JP bem
> observou)
>
> 2 e 19:
> 27*8 = 3+5+...+17+23+Pn = 79+Pn ==> Pn = 137 ==> esse � primo....
>
> A fim de completar a an�lise, devemos considerar o caso em que h� 2 ou mais
> primos superiores compondo a m�dia.
> Suponhamos que a m�dia tenha m primos inferiores e n primos superiores (n >=
> 2). Ent�o:
>
> 27*(m+n) = m*Minf + n*Msup (Minf (Msup) = m�dia dos primos inferiores
> (superiores) ) ==>
> Msup = (27*(m+n) - m*Minf)/n = (27 - Minf)*m/n + 27
>
> N�o � dif�cil ver que o maior valor poss�vel de (27 - Minf)*m ocorre
> justamente quando todos os 9 primos inferiores est�o presentes ==> (27 -
> Minf)*m = 27*m - Minf*m = 27*9 - (2+3+...+23) = 243 - 100 = 143
>
> Logo, o valor m�ximo de Msup qundo h� n primos superiores � menor ou igual a
> 143/n + 27 ==> uma fun��o decrescente de n.
>
> Com n = 2 ( o menor valor permitido de n), teremos que Msup <= 143/2 + 27 =
> 98,5 < 137.
>
> Logo, com 2 ou mais primos, Msup ser� menor do que 137 ==> a sequencia de
> primos distintos com m�dia igual a 27 tem apenas um primo superior, igual a
> 137.
>
>
> Um abra�o,
> Claudio.
>

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