Re: [obm-l] problema real

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Vou dar um palpite, espero que seja de ajuda...
O que voc� quer �, dado um polin�mio de quarto grau, e um intervalo [a, b]
na reta real, obter uma restri��o com base nos coeficientes desse polin�mio
que indique que esse polin�mio � crescente nesse intervalo, certo?

Bom, o que eu estava pensando �:
- se o polin�mio for crescente, ent�o a derivada dele no �nicio do intervalo
� >= 0 e n�o h� uma raiz para a derivada no intervalo em quest�o
- como a derivada � um polin�mio de grau 3, ent�o existe uma f�rmula com
base nos coeficientes do pol. da derivada indicando quais s�o as ra�zes do
mesmo.

Se voc� colocar como restri��o que nenhuma das 3 ra�zes do polin�mio estejam
no intervalo desejado voc� garante que o polin�mio de grau 4 obtido �
crescente...

Voc� ent�o poderia gerar 4 problemas de otimiza��o, o primeiro coloca 0
ra�zes antes de a e 3 ap�s b, o segundo coloca 1 raiz antes de a e 2 ap�s
b....

Pegue a melhor solu��o dentre as dadas pelos 4 problemas.

Outras restri��es podem ser necess�rias para garantir que o polin�mio de
grau 3 n�o tenha ra�zes complexas, mas essas tamb�m s�o feitas sobre os
coef. do polin�mio.

> Boa tarde a todos. Este eh um problema real, ligado aa minha atividade
> profissional. Acho importante, por uma questao de etica e respeito aos
> colegas, dar esta informacao. Eu tenho, quando posso (minha funcao nao eh
> exatamente esta, mas nao resisto...), pensado nele, mas ainda nao cheguei
a
> uma conclusao:
>
> Em diversos modelos computacionais ligados as simulacao do sistema
eletrico
> brasileiro, a variacao do nivel do reservatorio de uma usina hidreletrica
em
> funcao do volume de agua acumulado eh representado por um polinomio de
ateh o
> quarto grau (na maioria dos casos, de fato do 4o grau). Dispomos de uma
tabela
> de observacoes cota x volume gerada por levantamentos aerofotogrametricos
e,
> com base, nela, ajustamos um polinomio por minimos quadrados, observando
se o
> coeficiente de determinacao R2 esta OK. Acontece que, para que o polinomio
> obtido seja uma representacao aceitavel do fenomeno, eh necessario que, na
> faixa de variacao de volume analisada, o polinomio seja estritamente
> crescente, pois assim sao reservatorios, por natureza. Logo, se
encontrarmos
> por regressao um polinomio com R2 muito proximo a 1 mas cujo grafico na
faixa
> em questao seja uma "cobra", entao este polinomio nao serve, pois nada tem
a
> ver com o fenomeno fisico em questao.
>
> Eu estive pensando em utilizar algum algoritmo de Programacao Nao Linear
para
> resolver o seguinte problema:
> Sendo V1,...Vn os volumes observados, H1,..Hn as cotas (conhecidas)
> correspondentes a tais volumes, C0, C1...C4 os coeficientes do polinomio
(Ci,
> coef. do termo de grau i) a serem determinados e P a funcao polinomial com
> tais coeficientes, entao
>
> Minimizar Soma (i=1 a n) [P(Vi) - Hi]^2, variando C0...C4,
> sujeito a que o polinomio seja estritamente crescente no intervalo [V1 ,
Vn],
> (supondo-se os Vi em ordem crescente e distintos dois a dois).
>
> A dificuldade aqui eh representar esta restricao em funcao dos
coeficientes do
> polinomio, de modo a que se possa aplicar um algoritmo de programacao
> matematica. Isto eh, achar uma relacao entre os coeficientes de modo que,
na
> faixa de trabalho, a sua derivada, um polinomio do 3o grau, seja sempre
> positiva. A rigor, o polinomio tambem nao deveria ter inflexoes na faixa
de
> seu volume util (a compreendida ente V1 e Vn), pois nao eh usual
reservatorios
> com tal comportamento. Mas, isto nao eh tao importante quanto ser
estritamente
> crescente. Eh possivel que haja uma saida simples, mas ainda nao me deu o
> "estalo".
>
> Um abraco a todos
> Artur
>
>
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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