Re: [obm-l] Nao custa nada perguntar...

[Marcos Victor Batalha Moreira <matadorsol@xxxxxxxxxxxx>]

Ol� Pessoal,

Muito Obrigado Nicolau. A demonstra��o por indu��o mostrou mas nao 
explicou ( a meu ver de aluno ). Eu tinha pensando que a
demonstra��o desse fato seria algo envolvendo combina��o de termos pelo 
fato de (x + a)^n ser =  (x+a)(x+a)(x+a)(x+a)..... [n vezes],
a� talvez seria """"�bvio"""" ,pra vcs, professores, ver que o termo x^n 
ia aparecer combi(n,0) vezes e o termo (x^n-1)a iria aparecer com-
bin(n,1), por isso que eu chamei minha pergunta de meio idiota.


Nicolau C. Saldanha wrote:

>S� d� para responder isso se voc� der a sua defini��o de tri�ngulo
>de Pascal; afinal podemos muito bem definir o tri�ngulo como sendo
>formado pelos coeficientes de (x+y)^n.
>
>Mas para esta resposta n�o ficar muito vazia, vou sugerir uma defini��o:
>binom(n,m) � definido recursivamente por
>
>binom(0,0) = 1, binom(0,m) = 0 para outros valores de m.
>binom(n+1,m+1) = binom(n,m) + binom(n,m+1).
>
>Devemos provar que
>
>(x+y)^n = binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n
>
>Faremos isso por indu��o; os casos n = 0, 1 e at� 2 s�o f�ceis.
>Supondo isso verdadeiro para n temos
>
>(x+y)^(n+1) =
>              (por hip�tese de indu��o)
>= (x+y)(binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n)
>= x(binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n) +
>  + y(binom(n,0) x^n + binom(n,1) x^(n-1) y + ... + binom(n,n) y^n) =
>= binom(n,0) x^(n+1) + binom(n,1) x^n y + ... + binom(n,n) x y^n +
>  + (binom(n,0) x^n y + binom(n,1) x^(n-1) y^2 + ... + binom(n,n) y^(n+1) =
>= binom(n,0) x^(n+1) +
>  + (binom(n,0) + binom(n,1)) x^n y +
>  + (binom(n,1) + binom(n,2)) x^(n-1) y^2 +
>   ...
>  + binom(n,n) y^(n+1)
>              (pela defini��o recursiva de binom)
>= binom(n+1,0) x^(n+1) + binom(n+1,1) x^n y + ... + binom(n+1,n+1) y^(n+1)
>
>que � o que quer�amos demonstrar.
>
>  
>


=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================