Re: [obm-l] divisores

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

 Bem, a� v�o as contas. Vou tenat explicar ao m�ximo meu pensamento:

Devemos determinar um n�mero n da forma  n = p1a1.p2a2.prar < 1992, que
implica que o n�mero de divisores positivos � igual a d(n) = (a1 + 1)(a2 +
1)...(ar + 1), que deve ter o maior valores poss�vel.

Como 2.3.5.7.11 = 2310 >1992, ent�o o nosso n�mero possui menos de 5 fatores
primos.

Evidentemente vamos trabalhar com os menores primos, uma vez que o n�mero de
divisores n�o depende dos primos, somente dos expoentes, e para maximizarmos
os expoentes (e n�o passar de 1992) teremos que minimizar os primos. Assim,
vamos trabalhar somente com os primos 2, 3, 5 e 7.

Observemos que:  442 = 1936 < 1992 < 2025 = 452

Sendo  2.3.5 < 44  e  2.3.5.7 > 44, ent�o um candidato a n�mero com maior
n�meros de divisores �  n = 22.32.52 = 900

Como 2n = 2.900 = 1800 < 1992, ent�o podemos maximizar d(x) fazendo  x =
23.32.52 = 1800   �   d(x) = (1 + 3)(1 + 2)(1 + 2) = 36

Tentemos determinar outros n�meros < 1992 com n�mero de divisores maiores ou
iguais de 36. Para isto vamos variar os expoentes dos primos 2, 3, 5 e 7 na
fatora��o de n.

  i) n = 25.32.5 =1440   �   d(n) = (1 + 5)(1 + 2)(1 + 1) = 36

 ii) n = 22.32.5.7 = 1260   �   d(n) = (1 + 2)(1 + 2)(1 + 1)(1 + 1) = 36

iii) n = 24.3.5.7 = 1680   �   d(n) = (1 + 4)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 40

Qualquer outra configura��o de expoentes em 2, 3, 5 e 7 acabou provocando um
n�mero de divisores menor que 36 ou um n�mero n maior que 1992 (acho que n�o
esqueci ningu�m)

N�o sei se esta solu��o seria aceita como completa por uma banca corretora.
Acho que falta provar que qualquer n�mero com mais de 40 divisores positivos
� maior que 1992.



At� mais,

Marcelo Rufino de Oliveira



----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, May 07, 2003 9:12 PM
Subject: Re: [obm-l] divisores


> Posso saber que contas s�o essas que voc� fez??? Eu
> precisava da resolu��o...
>
> Abra�os,
>
> Rafael.
>
>  --- Marcelo Rufino de Oliveira
> <marcelo_rufino@hotmail.com> escreveu: > Fazendo
> algumas contas eu encontrei que 1680 � o que
> > possui o maior n�mero
> > de divisores positivos (40 no total). Alguns n�meros
> > possuem 36 divisores
> > positivos (1800, 1440, 1260), mas n�o encontrei
> > nenhum que possui mais de 40
> > divisores.
> > Para fazer uma solu��o completa acho que basta
> > provar que n�o existe nenhum
> > n�mero menor que 1992 que possua mais de 40
> > divisores positivos.
> >
> > At� mais,
> > Marcelo Rufino de Oliveira
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
> > To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Wednesday, May 07, 2003 7:25 PM
> > Subject: [obm-l] divisores
> >
> >
> > > Esse eu n�o estou conseguindo escrever nada
> > produtivo:
> > > Dentre os n�meros 1,2,3,4,5,...., 1992, a soma dos
> > > algarismos daquele que possui o maior n�mero de
> > > divisores positivos �: (333/61)
> > > a) 12
> > > b) 13
> > > c) 14
> > > d) 15
> > > e) 16
> > >
> > > Abra�os,
> > >
> > > Rafael.
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