[obm-l] Problema da segunda fase da OBM-Outra Soluçao

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Ola pessoal!!!!!Ano passado consegui essa soluçao.Sera que alguem pode corrigi-la?

(2ª fase OBM 2003)

Considere o quadrilatero ABCD com AB=CD.Mostre que a reta que liga os pontos medios de AC e BD determina angulos iguais com os lados AB e CD.

 

SOLUÇAO:considere o ponto E de intersecçao de AB e CD,M medio de BD,N medio de AC,X e Y onde MN corta AB e CD,na ordem,K monde AD corta XY.Suponha que MN e AD sejam concorrentes(se nao forem o teorema e obvio).Vamos provar que EX=EY

Menelaos na reta XMK

triangulo ABD:

AK/KD*DM/MB*BX/XA=1

triangulo ACD:

AK/KD*DY/YC*CN/NA=1

triangulo EBD:

EX/XB*BM/MD*DY/YE=1

 

Logo BX/XA=DY/YC(as duas primeiras),e como AB=CD,temos BX=DY.Pondo na ultima vemos que sai o pedido:EX=EY,e ai o triangulo XEY e isosceles.Pronto,fim!

Essa dava pra ir no site da OBM ou Eureka!

Te mais!!!!!!Ass.:Johann

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