Re: [obm-l] Pontos pintados

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Marcos:

Veja os comentarios abaixo:

on 27.04.03 05:32, Marcos Reynaldo at marc_reybr@yahoo.com.br wrote:

>> Uma equacao diofantina bonitinha:
>> 
>> Prove que x^2 + (x+1)^2 = y^3 nao tem solucao em
>> inteiros positivos.
> 
> Com rela��o ao problema acima ai vai uma tentativa:
> 
> Admita que a equa��o tem solu��o em inteiros
> positivos. Neste caso, voc� conclui que y s� pode ser
> um n�mero impar (pois se x � par, x^2 � par, x+1 �
> impar e (x+1)^2 � impar e a soma de um numero par com
> um impar � impar; analogamente, se x for impar,
> conclui-se que y � impar).
> Bom ent�o y � da forma 2n+1, onde n � inteiro (o caso
> em que n � 1 � facilmente verificado substituindo y
> por 1 donde resulta que x ou � 0 ou -1).
> Substituindo na express�o , vem
> x^2 + x^2+2x+1=2n+1 -->  2x^2 + 2x - 2n = 0 -->
> 
Ateh aqui - tudo certo.

> x^2 + x - n = 0  -->  x = raiz(1+4n)/2.
> Ora, mas o resultado acima n�o � inteiro. Se fosse,
> x^2=(1+4n)/2 tambem seria, o que � um absurdo.

Na verdade, resolvendo aquela equacao do 2o. grau, voce acha que:
x = (-1 + raiz(1+4n))/2, que eh inteiro e positivo para uma infinidade de
valores de n:
n = 2 ==> x = 1
n = 6 ==> x = 2
n = 12 ==> x = 3

em geral:
n = k^2 + k ==> x = k

> Logo, o fato de considerarmos que a equa��o possui
> solu��o em inteiros positivos gerou uma contradi��o.
> Assim, a equa��o n�o possui solu��o em inteiros
> positivos.
> 
Assim, nao vale a sua conclusao.

> D� uma olhada, se tiver algum erro me diz.
> 
> []'s Marcos
> 

Um abraco,
Claudio.

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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