Re: [obm-l] Desigualdade legal

["Marcio" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

    �...
    Minha solu��o foi a seguinte:
    Voce comeca mostrando o caso em que abc = 1. Esse caso � t�pico. Uma
solucao � fazer a=u/v, b=v/w, c=w/u e depois usar a desigualdade do
rearranjo.
Fica u^2/wv + v^2/uw + w^2/uv >= u/v + v/w + w/u sse u^3 + v^3 + w^3 >= u^2w
+ v^2u + w^2v (rearranjo com [u^2 v^2 w^2] e [u v w].
    Agora, suponha abc < 1. Se todos os tr�s forem menores que 1, a
desigualdade segue direto de a/c >= a, ...
    Suponha ent�o que c > 1 (os outros dois casos s�o tratados da mesma
forma). Considere f(x) = x/c + b/x + c/b - x - b - c.
    Como 1/c - 1 < 0, essa fun��o � decrescente, e portanto para 0<x<1/bc
temos temos f(x) > f(1/bc).
    Por outro lado, fazendo a = 1/bc sabemos que f(a) > 0 da primeira parte,
e consequentemente f(x) > 0 sempre.
    t+

----- Original Message -----
From: "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, April 16, 2003 5:51 PM
Subject: Re: [obm-l] Desigualdade legal


> > Segue pro pessoal tentar uma desigualdade legal que apareceu em outra
> lista:
> >     Se a,b,c sao reais positivos e abc <=1, mostre que:
> >     a/c + b/a + c/b >= a + b + c
>
>
> talvez saia dessa maneira:
> sejam x e y reais positivos tais que
> b = ax
> c = ay
> temos ent�o
>
> a/ay + ax/a + ay/ax >= a(1 + x + y)9
> 1/y + x + y/x >= a(1 + x + y)
>
> no entanto abc = a�xy <= 1 => a <= (xy)^(-1/3)
> sendo assim, se provarmos que
> 1/y + x + y/x >= (xy)^(-1/3)(1 + x + y)
> teremos provado a desigualdade original.
> acho que se fizermos
> f(x, y) = 1/y + x + y/x - (xy)^(-1/3)(1 + x + y)
> talvez se usarmos os m�todos de c�lculo para determinar qual o valor
m�nimo
> de f e verificarmos que esse valor � >= 0 a resposta saia.


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