Re: [obm-l] REGRA DA CADEIA

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Apr 15, 2003 at 11:05:19AM -0300, Domingos Jr. wrote:
> 
> > qual � a demonstra��o da regra da cadeia?
> > Essa regra pode serr aplicada para expoentes(x^f(x))?Como?
> 
> Depende, a regra da cadeia de fun��es com 1 vari�vel sai direto da defini��o
> de derivada atrav�s de limites, j� foram colocadas algumas demonstra��es
> diversas aqui nessa lista mesmo.
> Fun��es de R^n -> R^m j� s�o mais complicadas e envolvem a matriz
> Jacobiana... (eu nem conhe�o as demonstra��es, se algu�m puder indicar um
> material interessante...)

Interessantemente a demonstra��o do caso geral � talvez mais simples
do que a do caso particular (em c�lculo 1 costuma-se dividir em casos
conforme uma das duas derivadas � igual a 0 ou n�o).

Sejam V e W espa�os de Banach (se isso for ir longe demais
pense em V e W como R^n e R^m). Para uma fun��o f: V -> W temos
f'(x0) =  A (onde A � uma transforma��o linear cont�nua de V em W;
no caso de R^n e R^m toda transforma��o linear � cont�nua) se
podemos escrever

   f(x + x0) = f(x0) + Ax + r(x)

onde |r(x)| << |x|, ou mais precisamente, se para todo epsilon > 0
existir delta > 0 tal que |x| < delta implica |r(x)| < epsilon |x|.

Agora � s� juntar as pe�as: se f(x0) = y0 e

   f(x + x0) = f(x0) + Ax + r(x)
   g(y + y0) = g(y0) + By + s(y)

ent�o

   g(f(x+x0)) = g(f(x0) + Ax + r(x))
              = g(f(x0)) + BAx + B(r(x)) + s(Ax + r(x))

e basta verificar que |B(r(x)) + s(Ax + r(x))| << |x|,
o que n�o � dif�cil.

[]s, N.
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