Re: [obm-l] Fw: sqrt(12a^3 - 3)

["Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Salvador:

Acho que Fermat provou o caso n = 4 (de fato, usando descida infinita). O
caso n = 3 foi provado por Euler usando aritm�tica em Z[raiz(-3)], se n�o me
engano, e a demonstra��o � mais dif�cil do que o caso n = 4.

Um abra�o,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "Salvador Addas Zanata" <sazanata@ime.usp.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, April 09, 2003 11:39 AM
Subject: Re: [obm-l] Fw: sqrt(12a^3 - 3)


>
> So um pequeno pitaco: A versao do ultimo teorema de fermat para n=3 nao e
> muito dificil de provar, se nao me engano foi provada pelo proprio. Acho
> que saiu na rpm, tem tambem no livro "100 great problems of elementary
> mathematics", Dorrie. Usa o principio da descida infinita (nao sei se o
> nome eh exatamente esse). A ideia eh a partir de uma sol., construir outra
> onde pelo menos um dos numeros eh estritamente menor que o outro.
>
>
> Abraco,
>
> Salvador
>
>
> On Tue, 8 Apr 2003, Wagner wrote:
>
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: Cl�udio (Pr�tica)
> > To: Wagner
> > Sent: Monday, April 07, 2003 4:02 PM
> > Subject: Re: sqrt(12a^3 - 3)
> >
> >
> > Oi, Andr�:
> >
> > Gostei muito do problema. Realmente, o UTDF nunca chegou a me passar
pela cabe�a - foi, sem d�vida, uma �tima id�ia.
> >
> > Acho que voc� deveria mandar esta solu��o pra lista.
> >
> > Obrigado e um abra�o,
> > Claudio.
> >   ----- Original Message -----
> >   From: Wagner
> >   To: Cl�udio (Pr�tica)
> >   Sent: Friday, April 04, 2003 9:52 PM
> >   Subject: Re: sqrt(12a^3 - 3)
> >
> >
> >   Oi Cl�udio
> >
> >   Fui eu que inventei esse problema.
> >   A solu��o � muito mais dif�cil do que parece
> >   Foi assim que eu criei esse problema:
> >   Se a,b,c s�o tr�s n�meros inteiros, tais que:
> >   (a+b)^3 = a^3 + c^3.
> >   Ent�o segundo o �ltimo teorema de Fermat
> >   (a+b),a ou c � igual a zero. Pois se eles fossem
> >   todos n�o nulos, isso seria uma contradi��o do
> >   teorema no caso n=3.
> >   Se (a+b)^3 = a^3 + c^3 . Ent�o:
> >   ((a+b)/b)^3 = (a/b)^3 + (c/b)^3. Para b diferente de zero.
> >   Logo: ((a/b)+1)^3 = (a/b)^3 + (c/b)^3.
> >   Sejam x e y dois n�meros racionais tais que:
> >   x=a/b e y=c/b.
> >   Ent�o: (x+1)^3 = x^3 + y^3 =>
> >   x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 - y^3 = 0 =>
> >   3x^2 + 3x + (1-y^3) = 0.
> >   Vamos calcular x em fun��o de y:
> >   delta = 9 - 12(1 - y^3) = 12y^3 - 3.
> >   x =( -3 + - sqrt(delta))/6. ( i )
> >
> >   Agora suponha que a+b=0.
> >   Ent�o a = -b => 0 = -b^3 + c^3 => b=c => y=1
> >   Se a = 0, b^3 = c^3 => b=c => y=1
> >   Se c = 0, (a+b)^3 = a^3 => b=0 e ent�o nem x nem y fazem sentido.
> >   Note que sempre que c � diferente de zero, b � diferente de zero.
> >   Se a,b e c forem n�meros inteiros e c for diferente de zero,
> >   ent�o x e y v�o ser n�meros racionais. Mas segundo o teorema de Fermat
> >   isso implica que y = 1. Logo x � racional se e somente se y = 1.
> >   Mas temos de ( i ) que x � racional se e somente se sqrt(delta) =
sqrt(12y^3 - 3)
> >   for racional. Logo sqrt(12y^3 - 3) s� � racional se y=1.
> >
> >   Na verdade a maior dificuldade dessa solu��o � associar o problema ao
teorema
> >   de Fermat (o que � na verdade muito dif�cil)
> >
> >
> >   Andr� T.
> >
> >
> >     ----- Original Message -----
> >     From: Cl�udio (Pr�tica)
> >     To: timpa@uol.com.br
> >     Cc: claudio.buffara@terra.com.br
> >     Sent: Friday, April 04, 2003 5:00 PM
> >     Subject: sqrt(12a^3 - 3)
> >
> >
> >     Oi, Andre:
> >
> >     Voc� j� conseguiu provar que se "a" e sqrt(12a^3 - 3) s�o racionais,
ent�o a = 1?
> >     De onde voc� tirou esse problema?
> >
> >     Parece que � f�cil mas h� dias eu tenho tentado sem sucesso.
> >
> >     Um abra�o,
> >     Claudio.
> >
> >
>
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
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