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Oi, Daniel:
Dentre todas as frações da forma a/b com a, b
inteiros; a maior que 0 e menor que b ,e a+b menor que 40, aquela mais próxima
de 5/48 é tal que a+b vale: R: 32
O problema é minimizar | a/b - 5/48 | sujeito a 0
< a < b e a+b < 40
| a/b - 5/48 | = | 48a - 5b | / | 48b
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mdc(5,48) = 1 ==> o menor valor de | 48a -
5b | é igual a 1 e ocorrerá
para:
a = 2 + 5m e b = 19 + 48m ( 48a -
5b = 1 ) para algum m inteiro
ou então
a = 3 + 5n e b = 29 + 48n (
48a - 5b = -1 ) para algum n inteiro
No primeiro caso, teremos:
m = 0 ==> a = 2 e b = 19 ==> | a/b - 5/48 | =
| 2/19 - 5/48 | = 1/(19*48) = 1/912
(todos os outros valores de m produzem valores de a
e b que desobedecem às restrições)
No segundo caso, teremos:
n = 0 ==> a = 3 e b = 29 ==> | a/b - 5/48 | =
| 3/29 - 5/48 | = 1/(29*48) = 1/1392
(idem)
Logo, o valor de a/b que melhor aproxima 5/48 e
obedece às restrições é 3/29 ==>
3 + 29 = 32.
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A soma de todas as frações de numerador 1 e denominador 2,
3, 4, ..., n é tal que:
a)pode ser igual a 1992
b) pode ser igual a qualquer inteiro
c)nunca pode ser interiro para qualquer n
d)é irracional
e) é sempre menor que 1
Esse é um problema bem conhecido.
Ponha S = 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.
Agora, sejam:
2^k = maior potência de 2 que é <=
n
e
P = 1*3*5*.... = produto dos ímpares positivos
<= n
Então: 2^(k-1)*P*S é uma soma de (n-1) termos dos
quais apenas um não é inteiro (justamente aquele que corresponde ao termo 1/2^k
na soma original S).
Logo, 2^(k-1)*P*S não é inteiro ==>
S não é inteiro ==>
alternativa (c)
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Sabendo que na equação SHE=(HE)^2, mesmas letras
representam mesmos digitos e letras diferentes representam dígitos diferentes, o
valor da soma S+H+E é igual a:
100*S + (HE) = (HE)^2 ==>
HE^2 - HE - 100*S = 0
Delta = 1 + 400*S = quadrado
perfeito
Testando os 9 valores possíveis de S (1,2,...,9),
teremos:
1 + 400*S = 2401 = 49^2 ==>
S = 6
Além disso, HE = (1 + raiz(Delta))/2 = (1 + 49)/2 =
25
Logo, SHE = 625 ==> S+H+E = 13.
R:13
Um abraço,
Claudio.
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