[obm-l] Re: [obm-l] � possivel dividir?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Mar 23, 2003 at 02:00:58PM -0300, Andr� Riker wrote:
> � possivel dividir um ret�ngulo 66 x 62 usando somente ret�ngulos 12 x 1?

N�o � poss�vel.

Pense no seu ret�ngulo como sendo formado por quadradinhos indexados
por dois inteiros i e j, 0 <= i < 66, 0 <= j < 62. Para cada quadradinho
considere o resto da divis�o de (i+j) por 12: isso pode dar qualquer valor
inteiro k,  0 <= k < 12. Ora, cada ret�ngulo 12 x 1 cobre um quadradinho
com cada um dos 12 valores de k poss�veis logo se fosse poss�vel cobrir
o ret�ngulo grande com os retanglinhos finos ent�o o n�mero de quadradinhos
com cada valor de k seria o mesmo. Mas n�o �. Isso pode ser verificado na marra
mas eu prefiro dar uma solu��o alg�brica.

Considere o polin�mio
  P(X) = (1 + X + X^2 + ... + X^65)(1 + X + X^2 + ... + X^61) 
       = (1 - X^66)(1 - X^62)/((1 - X)^2)

Seja z = exp(2 pi i/12). Se os n�meros de quadradinhos nas doze classes
fossem iguais ter�amos, juntando os termos no produto acima, P(z) = 0.
Mas P(z) = (1 - z^6)(1 - z^2)/((1 - z)^2) claramente n�o � igual a 0.

[]s, N.
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