[obm-l] Problemas

["basketboy_igor" <basketboy_igor@xxxxxxxxxx>]

1°)Seja a equação sen³(x)*cos(x)-sen(x)*cos³(x)=1/m onde 
m é um número real não nulo. Podemos afirmar que:
a)|m|<0  b)|m|<1  c)|m|<2  d)|m|<3 e) |m|<4

2°)Seja n um inteiro positivo. Prove que os coeficientes 
ninomiais:
C(n,1), C(n,2),...,C(n,n-1)
são todos pares se e somente se n for uma potencia de 2.

3°)Dois jogadores estão jogando em um tabuleiro 
infinito, que consiste de quadradinhos 1x1. O jogador 1 
escolhe um quadrado e marca nele um 0. Então o jogador 2 
escolhe outro quadrado e marca um X, e assim por diante. 
O jogo termina quando alguns dos jogadores completar em 
uma linha ou uma coluna 5 quadrados consecutivos, 
marcados por ele. Se nenhum dos jogadores conseguir, o 
jogo acaba empatato. Prove que o jogador 2 pode impedir 
o jogador 1 de vencer.(Israel/95).

4°)Ache o valro da expressão:
((...(((2¬3)¬4)¬5)...¬1995)
Onde x¬y=(x+y)/(1+xy), para todos os reais positivos x e 
y. (Balcânica/95)

5°)Prove que 1-log2 [cos²(2xy) + 1/cos²(2xy)] >= (1 + 
1/xy)² vale para qualquer x,y pertencente aos reais.
(Croácia 2002)
Obs: log2 x é log de x na base 2.

6°) Demonstre a fórmula:
sen(x)+sen(2*x)+...+sen(n*x)=[sen(n*x/2)*sen((n+1)
*x/2)]/sen(x/2)
Indicação: Pode-se empregar a fórmula de Moivre
[cos(x)+isen(x)]^n = cos(n*x)+i*sen(n+x).

 
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