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Acho que vc não leu a mensagem mais recente onde eu
mostro que isso com certeza acontece para um algum n.
Na verdade eu acho que já dá pra generalizar a
demonstração, por enquanto estou sem tempo, mas depois eu formalizo melhor a
solução completa (acho que dá!) para o problema.
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, February 26, 2003 1:19
PM
Subject: Re: [obm-l]
Algum_progresso_(seqüência_de_potências)
Como voce garante que a^^n==a^^(n+1) modulo 1000 sem ter demonstrado
isso?Nada te garante isso inicialmente.
"Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:
Para
o problema:
seja A(1) = a e A(n + 1) = a^A(n) para n >= 1, provar que
para todo inteiro
a > 1 os últimos 1000 dígitos da série A(1), A(2),
... eventualmente se
mantém fixos.
seja a tal que mdc(a, 10) = 1
=> mdc(a, 10^n) = 1 para todo n >= 0
sendo phi a função de Euler,
phi(10^n) = 4.10^(n-1)
suponha que exista um inteiro n tal que A(n) =
A(n + 1) (mod 10^1002)
A(n+1) = q.10^1002 + A(n) para algum q
inteiro
A(n+2) = a^A(n+1) = a^[q.10^1002 + A(n)]
mas phi(10^1001) =
4*10^1000 e 10^1002 é um múltiplo desse número, logo pelo
teorema de
Euler, temos que a^(10^1002.q) = [a^(10^1002)]^q = 1^q = 1
(mod
10^1001)
portanto:
(1) A(n+2) = 1.a^A(n) = A(n+1) (mod
10^1001)
temos também que:
A(n+2) = [a^(10^1002q)] * A(n+1)
se
q é par phi(10^1002) divide 10^1002q e logo A(n+2) = A(n+1) (mod
10^1002)
logo, se A(n+2) != A! (n+1) (mod 10^1002) temos que ter q =
2k + 1 para algum
k, logo:
A(n+2) = [a^(10^1002)] * A(n+1) (mod
10^1002)
elevando ambos ao quadrado, temos
A(n+2)² = [a^(10^1002)]² *
A(n+1)² (mod 10^1002)
A(n+2)² = A(n+1)² (mod 10^1002)
onde saí: A(n+2)
= A(n+1) ou A(n+2) + A(n+1) = 0 (mod 10^1002)
essa conta pode ser feita
pois como mdc(a, 10^2002) = 1 as potências de a
pertencem a um grupo
multiplicativo mod 10^2002.
nos interessa analisar o caso A(n+2) +
A(n+1) = 0, como vimos no item (1),
os últimos 1001 dígitos de A(n+2) e
A(n+1) são iguais, sendo assim:
se A(n+2) = A(n+1) = x (mod 10^1001)
com x < 10^1001, e u, v forem os 1002º
dígitos de A(n+2) e A(n+1)
respectivamente, temos:
(u + v)*10^1001 + 2x = 0 (mod 10^1002)
ou
seja, existe um m tal que:
(u + v)*10^1001 + 2x = m.10^1002
2x =
10^1001*(10m - u - v)
(2) .... x = 5^1001*(10m - u - v)
ops! x = 0
(mod 10^1000) :-) sendo assim eu não preciso fazer mais nada, !
os
próximos termos da seqüência com certeza terão os 1000 últimos dígitos
todos
zeros!!!
de (1) e (2) temos que a seqüência vai repetir os
últimos 1002 dígitos
sempre a partir de n ou então é garantido que os
últimos 1000 dígitos
fixam-se em 0.
Para o caso mdc(a, 10) = 1,
basta então provarmos que existe n tal que
A(n+1) = A(n) (mod 10^1002)
teremos provado que os 1000 últimos dígitos
eventualmente são
fixados...
Será que só eu estou me "divertindo"? Ou as demonstrações
estão confusas
demais?
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