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Hi all!
Discutindo com um amigo meu sobre a
demonstração das propriedades do logaritmo natural, encontrada no "Calculo com
Geometria Analítica", do Swokowsky, ele argumentou que a mesma seria falha.
Vou expor a prova encontrada no livro citado e depois discutir.
Propriedade:
Se p > 0 e q > 0
log(p*q) = log(p) + log(q)
Demonstração:
Primeiro, tomamos log(p*x) e log(x) como
antiderivadas de 1/x (isso é fácil ver se derivarmos os logs, p > 0). Então,
um teorema garante que log(p*x) = log(x) + C (1) para alguma constante
C.
Nesse momento (e aqui começa a discussão), o autor
faz x = 1. Como log(1) = 0,
temos:
log(p) = log(1) + C => C = log(p)
(2)
Substituindo (2) em (1), temos:
log(p*x) = log(x) + log(p)
Como q > 0 está no domínio do log, podemos tomar
x = q e a prova está concluída:
log(p*q) = log(p) + log(q)
Agora, a confusão deu-se no momento que o autor fez x = 1, para obter a
constante e substituir na expressão. Meu amigo diz que essa demonstração não é
rigorosamente válida pois ele nào a demonstrou para todo x, apenas para x = 1.
Eu disse que, uma vez que a função log está definida para todo x > 0, então
não haveria problema em tomar x = 1, pois este ponto teria a mesma "propriedade"
de todos os outros pontos do domínio (existe algum teorema que garante isso?
inferi isso pois o Guidorizzi, em "Um Curso de Cálculo", também usou desse
artifício, considerando uma função definida em [a,b] e tomando x = a).
Julguem e comentem... Quem está com a razão?
Grato,
Henrique Patrício Sant'Anna Branco. |