[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstra��es no dia-a-dia

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Salvo melhor juizo, estas duvidas se situam na regiao limitrofe entre 
Ciencia e a Filosofia, sendo natural portanto nao haver um acordo 
irretorquivel sobre elas ... Se num "espaco" qualquer de seus objetos puder 
ser univocamente caracterizado por N outros, dizemos que trata-se de um 
espaco N-dimensional.

E notorio que uma tal DEFINICAO pode ser vista como uma depuracao daquilo 
que o senso comum percebe e entende como "dimensao". Evidentemente que uma 
tal definicao so e interessante porque podemos OPERAR com ela, retirando 
implicacoes intrinsecamente consistentes e que podem ser aplicadas no mundo, 
"la fora".

A Teoria das Strings ( que eu nao gosto ! ) permite interpretacoes na qual o 
mundo pode ter mais de 4 dimensoes, mas sao muito mais postulacoes e nao um 
conhecimento consolidade por inumeras experiencias, como no caso da teoria 
da relatividade. Independente de tudo isso, ninguem vai encontrar dimensoes 
procurando "la fora" ... E a necessidade de coerencia e simplicidade 
internas que vao nos levar a "ver" estas novas dimensoes, se e que elas 
existem. Einstein foi muito feliz quando falou sobre isso : "Nao existe 
nenhum caminho logico que leva a compreensao das leis elementares. O unico 
caminho e o da intuicao." Vale dizer, nao adianta voce fazer experiencias ou 
tentar fazer deducoes logicas, voce precisa "sentir" ( nao pensar, nao 
raciocinar ) como as coisas devem ser e so assim voce vai entender o sentido 
profundo de cada coisa.

A esse respeito ( de sentir pra depois exprimir ) Gauss falou o seguinte : 
"Durante este outono, ocupei-me largamente com as consideracoes gerais das 
superficies curvas, o que conduz a um campo ilimitado ... Estas pesquisas 
ligam-se fortemente a outras e sinto vibrar em mim, com grande vivacidade, O 
VERDADEIRO SENTIDO da raiz quadrada de MENOS UM, mas creio que sera 
extraordinariamente dificil expressar este sentido em palavras."

NOTA :  traducao minha.

Existem Matematicos que pensam, raciocinam, depois escrevem. Gauss - e uns 
poucos outros - primeiro SENTEM, depois raciocinam, por fim escrevem.

Em sintese, a dimensao e um conceito util. Mas nao esta nas coisas, mas na 
forma como vemos as coisas.

2)interpretando (a,b) como um ponto, ha uma imersao isomorfa de "a" em 
(a,0), o que nos permite dizer que em termos estruturais (a,0) e "a"
sao indistinguiveis ( que e o que queremos dizer quando falamos em um 
isomorfismo ). Dai decorre ( com o produto bem conhecido ) que (0,1) 
multiplicado por (0,1) da (-1,0), isto e, x=(0,1) e x^2 = -1. Por isso 
dizemos que (0,1)=i, pois o comportamenteo de (0,1) satisfaz todas as 
experiencias historicas que os matematicos ja haviam feito com o "i".

Note que aqui NAO HA DEMONSTRACAO ... Simplesmente criamos um cnjunto 
numerico e MOSTRAMOS que ele tem UM NUMERO cujo quadrado e -1. Evidentemente 
que a formalizacao dos numeros complexos tinha este objetivo de maior 
harmonia. E isso acontece muito ... Boa parte do trabalho Matematico e 
motivado para dar maior coerencia interna as partes desta ciencia. Entao, 
constroi-se objetos ou estruturas, amplia-se conceitos etc, de forma que 
fatos MAL AJUSTADOS e nao tao bem entendidos possam se harmonizar e fornecer 
uma compreensao mais universal e coerente das coisas ... A formalizacao dos 
complexos e um exemplo. Outros exemplos classicos podem ser a admissao das 
geometrias nao-euclidians em pe de igualdade com a euclidiana e a aceitacao 
dos quaternios.

3) Sim. Cotidiano : Aplique um capital a juros e capitalize a taxa 
instantaneamente. Voce vai chegar ao numero "e". Foi assim que Bernoulli 
apresentou este numero ... Nao existe uma definicao preferencial de um 
numero ... pi pode ser definido como a razao entre a circunferencia e seu 
diamentro ou como o limite da serie que voce cita ou como um dos produtos de 
Wallis, etc, etc. nenhuma destas definicoes e melhor que outra : pode apenas 
ser mais conveniente em uma determinada aplicacao que fazemos. E digno de 
nota que Euclides provou ( e Arquimedes tambem ) que todos os circulos sao 
figuras semelhantes, vale dizer, a razao entre a circunferencia e seu 
diamentro e constante e independente da grandeza da figura.

A existencia de QUALQUER NUMERO REAL e pressuposta quando apresentamos estes 
numeros como um corpo ordenado completo. Todavia, tais numeros podem ser 
construidos a partir da teoria dos conjuntos. SE voce acha que construir 
algo e uma prova da existencia dele entao, neste ultimo caso, a existencia e 
provado com a construcao. Leia o Livro : Teoria ingenua dos conjuntos, do 
Paul Halmos. La vce vai ver como se "constroi" os numeros.

Demonstracao e um ASPECTO DA MATEMATICA. Nao e A MATEMATICA. A Matematica e 
a ciencia dos fenomenos que percebemos tao somente com o nosso intelecto. E 
em toda ciencia, nos primeiro percebemos as coisas, depois fazemos 
experiencias para confirmar nossas percepcoes e so depois, lentamente, 
avancamos para o campo das hipoteses relativas a explicacao dos fenomenos, 
isto e, avancamos ate as demonstracoes.

Primeiro voce sente, depois voce pensa ... A emocao precede a razao e o 
raciocinio. Qualquer pessoa que for sincer consigo mesmo e com os outros vai 
admitir que nunca descobre as coisas tal como apresenta em sua 
demonstracoes. Existe "algo" que precede a demonstracao e que nao e o pensar 
e nao o raciocinar. E o sentir, a intuicao, a inspiracao, a a forma especial 
do intelecto �perceber os fenomenos matematicos !

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1734,250203








>From: "Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] demonstra��es no dia-a-dia
>Date: Tue, 25 Feb 2003 11:30:15 -0300
>
>
>Tenho tr�s d�vidas, vejam:
>
>1�) Um segmento de reta � um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um 
>ret�ngulo � um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro � um exemplo 
>de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensionais, 
>ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em 
>termos abstratos se for o caso?
>
>Para 4 ou mais dimens�es, o mais simples � usar n-uplas ordenadas de 
>n�meros reais para representar pontos no espa�o n-dimensional.
>Assim, um hiper-cubo de 4 dimens�es e aresta = 2 teria por v�rtices os 16 
>pontos da forma (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1).
>
>Na natureza eu n�o conhe�o nenhum exemplo al�m do espa�o-tempo de 4 
>dimens�es (uma delas � o tempo) no qual n�s vivemos - vide qualquer livro 
>sobre teoria da relatividade. No entanto, existem teorias que dizem que o 
>universo tem na verdade 10 ou 26 dimens�es, mas as 6 ou 22 restantes est�o 
>t�o "curled up" (enroladinhas) que n�s n�o conseguimos perceb�-las.
>
>
>2�) Eu tinha visto na net h� algumas semanas atr�s um site (em ingl�s, mas 
>n�o me lembro o endere�o) que dava uma demonstra��o geom�trica (anal�tica) 
>do n�mero imagin�rio "i". A �nica coisa que me lembro, foi que a 
>demonstra��o foi feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma rela��o 
>com o ponto P (-1,0). H� pouco tempo atr�s aqui na lista houve algumas 
>mensagens explicando muito bem a parte hist�rica do n�mero "i" e dos 
>n�meros complexos, mas voc�s n�o falaram nada de demonstra��es. A �nica 
>coisa mais pr�xima disso foi quando disseram que o n�mero "i" surgiu quando 
>os matem�ticos procuraram resolver a equa��o raiz (-1) = ?. Mas ainda essa 
>passagem eu classifico dentro do contexto hist�rico do n� imagin�rio e 
>complexo e n�o uma explica��o matem�tica e "real"(real no sentido n�o 
>matem�tico).
>
>
>Tem um bom artigo sobre isso no livro Meu Professor de Matem�tica do Elon 
>Lages Lima, publicado pela SBM, que fala da rela��o entre nos. complexos, 
>logaritmos, exponenciais e fun��es trigonom�tricas.
>
>A meu ver, as propriedades mais importantes dos complexos s�o os seguintes:
>1) Al�m de se somarem como vetores, os complexos t�m uma multiplica��o com 
>uma interpreta��o geom�trica muito clara, que envolve dilata��o/contra��o e 
>rota��o.
>2) Inicialmente introduziu-se os complexos a fim de que todo polin�mio de 
>2o. grau com coeficientes reais tenha duas ra�zes. No entanto, descobriu-se 
>que eles eram suficientes para que qualquer polin�mio de grau n >= 1 e com 
>coeficientes complexos tivesse n ra�zes. Esse resultado � o Teorema 
>Fundamental da �lgebra.
>3) A extens�o dos m�todos do c�lculo para o dom�nio dos complexos revelou 
>propriedades surpreendentes que n�o existem no dom�nio real. Isso tem a ver 
>com o fato de que a exist�ncia da derivada de uma fun��o complexa � uma 
>condi��o muito mais forte do que a exist�ncia da derivada de uma fun��o 
>real.
>
>
>3�) Uma outra d�vida sobre demosntra��es:
>Se algum leigo em matem�tica pedisse a mim ou a qualquer um de vcs para 
>provar a exist�ncia do n�mero Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele para 
>medir o comprimento de qualquer circunfer�ncia com uma fita m�trica  e 
>ent�o dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele n�o soubesse o que era raio 
>era s� explicar). Agora pergunto:
>� poss�vel fazer uma demonstra��o semelhante (em termos de rela��o com o 
>cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ?
>
>Medir uma circunfer�ncia com uma fita m�trica n�o prova a exist�ncia de Pi. 
>No m�ximo d� uma aproxima��o para o seu valor real.
>Pi pode ser definido como a raz�o entre o comprimento de uma circunfer�ncia 
>e o seu di�metro. No entanto, primeiro temos que provar que, para toda e 
>qualquer circunfer�ncia, a raz�o entre o comprimento e o di�metro � 
>constante.
>
>A exist�ncia de Pi, e, ou de qualquer n�mero real � uma consequ�ncia do do 
>fato de o conjunto dos reais constituir um (de fato, o �nico) corpo 
>ordenado completo.
>Assim, por exemplo, "e" pode ser definido como o n�mero real tal que:
>       e
>INTEGRAL  dx/x = 1.
>       1
>Pode-se provar (com base no "completamento" dos reais) que essa integral 
>converge para um n�mero real, que se convencionou chamar de "e" (acho que 
>foi Euler que deu este nome).
>Al�m disso, pode-se provar que "e" tamb�m � o limite das sequ�ncias:
>An = (1 + 1/n)^n
>ou
>Bn = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!.
>
>Um abra�o,
>Claudio.
>


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