|
já que vc provou para o caso 4 vou considerar
a demonstração feita.
estou considerando as variáveis todas
positivas...
se não, teríamos, por exemplo
(1 + 1 + 0 + 0 + 0 + ... 0 - 1 - 1)² = 0 <
4*(1*1 + 1*0 + 0*0 + ... + 0*(-1) + (-1)*(-1) +
(-1)*1) = 4
suponha que a desigualdade valha para todo 4 <=
k < n
(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2>=4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_k*a_1)
para toda a sequência de tamanho k+1, ordene-a de forma
crescente, formando
a[1] <= a[2] <= ... <= a[k+1]
sendo S = a[2] + a[3] + ... + a[k+1]
pela hip. de indução S² >=4(a[2].a[3] + ...
+ a[k].a[k+1] + a[k+1].a[2])
sendo assim:
(S + a[1])² = S² + 2S*a[1] + a[1]² >= 4(a[2].a[3]
+ ... + a[k].a[k+1] + a[k+1].a[2])
queremos chegar a conclusão que:
2S*a[k+1] + a[k+1]² >= 4(a[1]a[2] + a[k+1].a[1] -
a[k+1].a[2])
mas a[k+1].a[1] - a[k+1].a[2] <= 0 pois a[1] <=
a[2], logo basta provar que
2S*a[k+1] + a[k+1]² >= 4a[1]a[2]
2a[1].a[k+1] + 2a[2].a[k+1] + ... >=
4a[1]a[2]
acho que deu certo...
[ ]'s
|