Re: [obm-l] Oi Pessoal

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Legal,cheguei perto desse.Mas ja que e assim...

 "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> wrote:

algumas id�ias...

(http://mathworld.wolfram.com/EulersTotientTheorem.html)

phi(10^1000) � o n�mero de inteiros de 1...10^1000 que s�o relativamente
primos com 10^1000.
temos que todos os m�ltiplos de 2 ou 5 s�o os �nicos inteiros com divisor em
comum com 10^1000, logo, o n�mero de m�ltiplos de 2 e 5 � (10^1000)/2 +
(10^1000)/5 - (10^1000)/10 = 3/5(10^1000)

phi(10^1000) = 2/5(10^1000) = 2^1001.5^999
se mdc(10^1000, a) = 1, temos
a^phi(10^1000) = 1 (mod 10^1000) pelo teorema de Euler

suponha que para algum n, a(n) = a(n+1) (mod 10^1000)
a(n+2) = a^a(n+1) = a^(10^1000.q + a(n)) = (a^(10^1000))^q . a^a(n) =
(a^(10^1000))^q . a(n+1)

se q = 2k, temos
a(n+2) = (a^(10^1000))^2k . a^a(n) = a^a(n) = a^a(n+1)

se q = 2k + 1,
a(n+2) = (a^(10^1000))^(2k + 1) . a(n+1) = (a^(10^1000))^2k . a^(10^1000) .
a(n+1) = a^(10^1000) . a(n+1)

a(n+2) = a^(10^1000) . a(n+1)
a(n+2)� = [a^(10^1000) . a(n+1)]� = a(n+1)�
a(n+2)� = a(n+1)�

aqui entram os detalhes t�cnicos, � simples ver que os primos da fatora��o
a(m) s�o os mesmos da fatora��o de a, sendo assim, se mdc(a, 10^1000) = 1,
mdc(a(m), 10^1000) = 1 para todo m >= 1.

se considerarmos o grupo multiplicativo formato pelos elementos de 1 at�
10^1000 relativamente primos a 10^1000, temos:
a(n+2)� = a(n+1)� <=> (a(n+2) - a(n+1)).(a(n+2) + a(n+1)) <=> a(n+2) =
a(n+1) ou a(n+2) = -a(n+1)

se conseguirmos eliminar o caso a(n+2) = -a(n+1), ou eliminarmos a
possibilidade de que q seja �mpar, bastaria provar que, dado a, mdc(a,
10^1000) = 1, se existe algum n tal que a(n) = a(n+1), temos que ap�s n
todos os 10.000 �ltimos d�gitos da seq��ncia estar�o fixados.

sobram os casos em que 2|a ou (exclusivo) 5|a, se 10|a, a resposta �
trivial, j� que s� de olhar para 10^10^10 d� pra ver que essas s�ries v�o
ter n�meros com muitos zeros no final e esse n�mero de zeros atinge 1000 bem
rapidamente...

[ ]'s


> Oi pessoal,
> Tenho acompanhado a lista pelo site da obm � alguns
> dias e ent�o resolvi entrar. Tenho um problema legal
> (gostaria da ajuda de um dos brilhantes participantes
> da lista, como: Johann Peter Gustav Lejeune
> Dirichlet...): Seja a(1) = a; a(n+1) = a^a(n); Prove
> que: para qualquer a > 1 inteiro, os �ltimos 1000
> d�gitos da expans�o decimal de a(n) ficam
> eventualmente constantes !!!
> Okakamo Kokobongo
>
> _______________________________________________________________________
> Busca Yahoo!
> O servi�o de busca mais completo da Internet. O que voc� pensar o Yahoo!
encontra.
> http://br.busca.yahoo.com/
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista �
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