Re: [obm-l] Esfera Furada

["Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

O interessante nesse problema � justamente a apar�ncia estar mal
determinado.

Uma solu��o diferente da do Nicolau, mas que usa uma f�rmula pronta para o
volume de uma calota (a qual pode ser obtida via c�lculo integral, por
exemplo - em si s� um bom exerc�cio - ou ent�o consultando algum livro de
geometria espacial) � a seguinte:

Sejam:
R = raio da esfera
r = raio do furo
h = altura da calota = R - 6

Al�m disso, por Pit�goras temos que: r^2 = R^2 - 6^2

Volume da Esfera = (4/3)*Pi*R^3

Volume do Cilindro = Pi*r^2*12 = 12*Pi*(R^2 - 36)

Volume de cada Calota = (1/3)*Pi*h^2*(3R-h) =
(1/3)*Pi*(R-6)^2*(2R+6) = (1/3)*Pi*(2R^3 - 18R^2 + 216)

Assim, usando que:
Vol(Esfera Furada) =
Vol(Esfera) - Vol(Cilindro) - 2*Vol(Calota), teremos:

Vol(Esfera Furada) =
(4/3)*Pi*R^3 - 12*Pi*(R^2 - 36) - 2*(1/3)*Pi*(2R^3 - 18R^2 + 216) =
Pi*(4*R^3/3 - 12*R^2 + 432 - 4*R^3/3 + 12*R^2 - 144) =
Pi*288 cm^3.

*************

Um outro problema, bem mais f�cil, que tamb�m parece estar mal determinado �
o seguinte:

Sejam duas circunfer�ncias conc�ntricas. Uma reta � tangente �
circunfer�ncia interna no ponto A e intercepta a externa no ponto B. Sabendo
que AB mede "a", calcule a �rea do anel compreendido entre as duas
circunfer�ncias.


Um abra�o,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, February 21, 2003 2:32 PM
Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada


> On Fri, Feb 21, 2003 at 03:13:11PM -0300, Cl�udio (Pr�tica) wrote:
> > Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas.
> > 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) ==> portanto, n�o � o
> > di�metro da esfera.
>
> Observe que o problema omite o raio do furo (r) e o da esfera (R).
> Sabemos apenas (Pit�goras) que R^2 - r^2 = 6^2 (em cm).
> O s�lido assim n�o est� bem determinado;
> ser� que seu volume independe dos dados que est�o faltando?
> Surpreendentemente sim.
>
> Se fatiarmos o s�lido perpendicularmente ao eixo do cilindro
> (digamos, o eixo z) ent�o a �rea de uma fatia a altura z
> � dada por Pi(R^2 - z^2 - r^2) = Pi(6^2 - z^2).
> Integrando de -6 a 6 temos
>
> Volume = integral Pi(6^2 - z^2) dz = 288 Pi cm^3
>
> Note que um caso particular � o de uma esfera de raio 6 com um furo fino,
> cujo volume � dado pela f�rmula 4/3 Pi R^3 que coincide, como deveria,
> com o que encontramos acima. Quem preferir pode usar Cavalieri em vez
> de c�lculo, � supostamente mais elementar. Ou pode usar a f�rmula do
> volume do prism�ide (integra��o por Simpson),
>
> Volume = 1/6 (B_0 + 4 B_1 + B_2) h
>
> onde h � a altura, no caso 12 cm, e B_0, B_1 e B_2 s�o as �reas da
> base de baixo (no caso 0), da base m�dia (no caso Pi(R^2 - r^2) = 36 Pi)
> e da base de cima (tamb�m 0). Por outro lado, a melhor explica��o
> que eu conhe�o para esta f�rmula (inclusive para decidir quando ela �
> correta) � via integral (ela � correta se a �rea da fatia for dada
> por um polin�mio em z de grau <= 3).
>
> []s, N.
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
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