Re: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados

Valeu bichos!!!!Essa foi a melhor dica que ja me deram!Nao era nada trivial ,mas devia ter feito sozinho.Mas a vida e assim,fazer o que?Ah,Claudio,o endedreço direto para a revista da OIM(muito anunciada na OBM) e http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim e por la voce ve um artigo sobre o teorema caseyense(que horror!!!!!) ou ptolomeu generalizado

seja n = 2

a[1] + a[2] = S

a[2] = S - a[1]

a[1]² + a[2]² = a[1]² + (S - a[1])² = 2a[1]² - 2.S.a[1] + S²

traçando o gráfico da parábola vemos claramente que os pontos de máximo para a[1] em [0, S] é justamente a[1] = 0 ou a[1] = S.

suponha então que, para todo 1 <= k < n, se a[1] + a[2] + ... + a[k] = S, a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 tem máximo quando uma delas é igual a S e outras são nulas

a[1] + a[2] + ... + a[k] + a[k+1] = S

temos que

a[1] + a[2] + ... + a[k] = S - a[k+1]

queremos maximizar:

a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[k]^2 + a[k+1]^2

se fizarmos a[k+1] sabemos que o valor máximo global vai ser, pela hipótese de indução quando um dos a[1]...a[k] for igual a S - a[k+1] e o resto for 0, sendo assim, podemos de antemão eliminar todas as variáveis nulas e, sem perda de generalidade assumir que a[1] = S - a[k+1]

logo caímos novamente no problema de maximizar a soma dos quadrado de duas variáveis positivas dado que sua soma é fixa, e isso foi exatamente o que foi feito na parte 1, logo temos que a expressão é maxima quando só uma das variáveis é maior que 0, o que completa a prova por indução.

segue que para todo n >= 1, para a[i] >= 0 e a[1] + a[2] + ... + a[n] = S um valor fixo, o maior valor de a[1]^2 + a[2]^2 + ... + a[n]^2 é S² quando um dos a[i] = S e os demais são 0.

----- Original Message -----

From: Cláudio (Prática)

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Thursday, February 20, 2003 4:56 PM

Subject: [obm-l] Maximizando uma Soma de Quadrados

Caro JP:

Que tal isso aqui?

Queremos maximizar Q = A(1)^2 + ... + A(n)^2 sujeito a:

A(1) + ... + A(n) = S = constante.

Bom, se os A(i)'s podem ser reais quaisquer, então a soma dos quadrados é ilimitada. (Tome A(1) = A, A(2) = S-A e todos os demais A(i)'s = 0 ==> Q = A^2 + (S-A)^2 ==> ilimitada).

No entanto, se nos restringirmos a A(i)'s positivos, então eu acho que o valor máximo da soma dos quadrados é atingido quando um deles é igual a S e os outros iguais a zero. Isso porque f(x1, ..., xn) = x1^2 + ... + xn^2 é convexa em cada uma das n variáveis e o máximo de uma função convexa num domínio fechado (que é o nosso caso) é atingido em algum ponto da fronteira deste domínio.

Nesse caso, Q = S^2.

Por exemplo, se A(1) = A (0 < A < S), A(2) = S - A, A(k) = 0, para k = 3,...,n então:

Q = A^2 + (S-A)^2 = S^2 - 2*A*S + 2*A^2 = S^2 - 2*A*(S-A) < S^2, pois A e S-A são positivos.

Um abraço,

Claudio.

----- Original Message -----

From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Thursday, February 20, 2003 2:19 PM

Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha

Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar vitoria afinal temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so sabemos da soma das primeiras potencias.E isso e dificil....
Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro JP:

Então, o problema é:

Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.....+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e 1.

Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo:

Suponhamos s.p.d.g. que A(1) <= A(2) <= ... <= A(n).

Pela desig. do rearranjo, vale:

A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) <= A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos iguais.

Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais a 1/n ==>

o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2 = 1/n.

Repare que não foi necessário supor que os A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa hipótese.

Um abraço,

Claudio.

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