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Caros Bruno e Gabriel:
x(k) = k > 1, para k > 1, enquanto que uma
das premissas é 0 <= x(k) <= 1.
Logo, o contra-exemplo não vale.
******************
Suponha que as premissas sejam válidas e que lim
a(k) = L, com L <> 0.
Como 0 <= a(k) <= 1, teremos que L >
0.
Em particular, existirá um número real
positivo A (tome, por exemplo, A = L/2) tal que para todo k suficientemente
grande, a(k) > A.
Mas, nesse caso, para todo k suficientemente
grande, a(k)*x(k) > A*x(k) ==> SOMA a(k)*x(k) diverge ==>
contradição.
Logo, se a(k) converge, tem de ser para
0.
**************
Por outro lado é possível que as premissas
sejam válidas e que a(k) seja divergente.
Tome a(k) = 0 se (k+1) não for quadrado perfeito e
a(k) = 1 se (k+1) for um quadrado perfeito.
Claramente, a(k) diverge.
Tome x(k) = 1/(k+1)
Então:
0 <= a(k),x(k) <=1
infinito
infinito
SOMA x(k) = SOMA
1/(k+1) diverge
k =
0
k = 0
infinito
infinito
SOMA a(k)*x(k) = SOMA 1/n^2 =
Pi^2/6
k =
0
n = 1
(a(k)*x(k) é a subsequência de x(k) que contém os
recíprocos dos quadrados perfeitos)
************
Logo, a conclusão deve ser que, dadas as premissas,
se a(k) converge, então lim a(k) = 0, mas pode ser que a(k) seja
divergente.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Friday, February 07, 2003 1:18
PM
Subject: Re: [obm-l] séries
Nao, contra exemplo: tome x[k]=k a[k]=1/(ck)
ghaeser@zipmail.com.br wrote:
seja 0<=x[k],a[k]<=1
sequencias.
se somatório de x[k], para k=0,..,oo diverge.
e
somatório de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.
é possível afirmar
que lim ak = 0 ?
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Gabriel
Haeser
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