Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fun��o uniformemente diferenci�vel

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

Oi Claudio,

Seja I=[a,b] e z em I. 

Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em
IxI da seguinte forma:

Se x<>y, nao ha problema.

Se x=y, G(x,x)=f'(x).



Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel,  G(x,x)=f'(x) e 
G(x,y)=G(y,x).

Vamos supor que {min f' em I} < f'(z) < {max f' em I}.

Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que:

1) G(x0,y0)<f'(z)<G(x1,y1).

2) x0>y0 e x1>y1.

 
Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta nao
cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que voce
quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal.


Abraco,

Salvador






On Wed, 5 Feb 2003, Cl�udio (Pr�tica) wrote:

> Caro Artur:
> 
> Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos "se
> e somente se") eu me deparei com uma d�vida:
> 
> Tome uma fun��o f, diferenci�vel num intervalo aberto I.
> � verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
> f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
> Este seria uma esp�cie de rec�proco do teorema do valor m�dio.
> 
> Um abra�o,
> Claudio.
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, February 05, 2003 6:09 AM
> Subject: [obm-l] Fun��o uniformemente diferenci�vel
> 
> 
> Aos amigos que curtem An�lise Real proponho o seguinte problema, que
> acho bastante interessante. Antes, por�m, lembro o conceito n�o muito
> difundido de fun��o uniformemente diferenci�vel. Dizemos que f �
> uniformemente diferenci�vel em um intervalo I se, dado qualquer eps>0,
> existir d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, ent�o
> |[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)|< eps. Observamos aqui a similaridade com
> continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um
> mesmo delta � bom para todos os elementos do intervalo.
> 
> Mostre que f uniformemnte diferenci�vel em um intervalo I se, e somente
> se, f' for uniformemente cont�nua em I.
> 
> Ah, outra conclus�o simples mas interessante. Mostre que se f for
> diferenci�vel em I, ent�o f' � limitada em I se, e somente se, f
> satisfizer neste intervalo � condic�o de Lipschitz. Lembro que f
> satisfaz � condic�o de Lipschitz em I se existir uma constante K>0 tal
> que |f(x) - f(y)| <= K |x-y| para todos x e y em I.
> 
> Ah, para terminar, espero n�o estar sendo chato... � imediato que se f
> satisfizer � condic�o de Lipschitz em I ent�o f � uniformemente cont�nua
> em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a rec�proca n�o � verdadeira. Um
> contra exemplo interessante � f(x) = raiz(x) em [0, 1].
> 
> Abra�os.
> Artur
> 
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