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Caro Dirichlet:
Qual o teorema de Kronecker a que voc� se
refere?
A solu��o que eu tinha em mente usa apenas
matem�tica elementar.
Inicialmente, � claro que, num dado quadrante,
o caminho �timo do besouro deve ser uma linha reta.
Suponhamos que o besouro passa pelo segundo
quadrante, e que ele corta o eixo y em (0,a) e, em seguida, o eixo x em (-b,0)
(a e b positivos).
Ent�o, o seu trajeto pelo segundo quadrante � um
segmento de reta que mede raiz(a^2 + b^2).
Como a sua velocidade no segundo quadrante � de 1
unidade / minuto, o tempo que ele gasta neste trajeto � de raiz(a^2+b^2)/1
= raiz(a^2 + b^2) minutos.
Comparemos agora este intervalo de tempo com o que
ele gastaria se ao chegar em (0,a), o seu trajeto fosse (0,a) --> (0,0)
--> (-b,0), movendo-se sempre ao longo dos eixos coordenados com velocidade
de 2 unidades / minuto (estou supondo aqui que os eixos n�o pertencem ao segundo
quadrante, mas para evitar pol�micas sobre qual a velocidade NOS eixos, voc�
pode supor que ele se move a uma dist�ncia arbitrariamente pequena, mas positiva
dos eixos, do lado oposto ao segundo quadrante - vai aparecer um epsilon nas
desigualdades abaixo que pode ser feito t�o pequeno quanto se
deseje).
Neste segundo caso, o tempo gasto seria a/2 + b/2 =
(a+b)/2 minutos.
No entanto, sabemos que se a ou b � positivo, ent�o
2*a^2 + 2*b^2 + (a-b)^2 > 0, ou seja:
3*a^2 + 3*b^2 - 2*a*b > 0
==>
4*a^2 + 4*b^2 > a^2 + b^2 + 2*a*b
==>
a^2 + b^2 > ( a + b )^2 / 4
==>
raiz(a^2 + b^2) > (a + b)/2 ==>
contradi��o, pois haviamos suposto que o trajeto de
tempo m�nimo passava pelo segundo quadrante ==>
o trajeto de tempo m�nimo passa pela
origem.
Um outro problema interessante (mas n�o muito
dif�cil) � determinar a maior velocidade que ele pode ter no segundo quadrante
de modo a permitir que o trajeto de tempo m�nimo ainda passe pela origem. Qual a
interpreta��o f�sica disso?
Um abra�o,
Claudio.
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