RE: [obm-l] conjuntos abertos na reta real

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Obrigado. A representa��o de fato � �nica.
Um abra�o para todos.

Artur Costa Steiner


>-----Original Message-----
>From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-
>rio.br] On Behalf Of larryp
>Sent: Sunday, January 05, 2003 10:07 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] conjuntos abertos na reta real
>
>Caro Artur:
>
>Seja X um conjunto aberto da reta real. Ent�o, pelo teorema da
exist�ncia
>(para cada aberto X, existe uma fam�lia enumer�vel de intervalos
abertos
>disjuntos dois a dois cuja uni�o � X), podemos escrever X = UNI�O A(i),
>onde
>i pertence a N e os A(i) s�o intervalos abertos disjuntos dois a dois.
>
>Em algum ponto da demonstra��o da exist�ncia dos A(i) deve ter
aparecido o
>seguinte fato:
>"Se x pertence a X, ent�o x pertence a A(i), para algum i, e A(i) � o
maior
>sub-intervalo de X que cont�m x"
>
>Suponhamos que X = UNI�O B(j) ( j em N, e os B(j) intervalos abertos
>disjuntos dois a dois) e que as duas representa��es s�o distintas.
>
>Neste caso, existir� um �ndice "r" tal que B(r) ser� diferente de A(i)
para
>todo i.
>
>Seja "x" pertencente a B(r). Ent�o B(r) � o maior sub-intervalo de X
que
>cont�m "x".
>
>Por outro lado, existe um �ndice "s" tal que "x" pertence a A(s), e
A(s) �
>o
>maior sub-intervalo de X que cont�m "x".
>
>Assim, A(s) = B(r) ==>
>
>Contradi��o pois, por hip�tese, B(r) � diferente de A(i) para todo i
==>
>
>As duas representa��es s�o id�nticas.
>
>Espero que isto seja �til.
>
>Um abra�o,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Saturday, January 04, 2003 11:33 PM
>Subject: [obm-l] conjuntos abertos na reta real
>
>
>> Feliz 2003 para todos!
>>
>> Sabemos que, na reta real, todo conjunto aberto � dado por uma uni�o
>> disjunta e numer�vel de intervalos abertos. Quase todos os livros de
>> An�lise Real apresentam a prova deste teorema. Estou agora tentanto
>> provar que esta representa��o de conjuntos abertos � �nica, e estou
>> encontrando alguma difculdade. Deve haver algum detalhe, talvez
trivial,
>> que esteja me passando. Algu�m poderia ajudar?
>>
>> Obrigado.
>> Artur
>>
>>
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>> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
>>
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>>
>
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>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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