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Re: [obm-l] Re:

To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: Re: [obm-l] Re:
From: "Eder" <edalbuquerque@xxxxxxxxxx>
Date: Sun, 22 Dec 2002 10:31:09 -0200
References: <F46yJxArGvnCjnZS08i0001a450@hotmail.com>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Oi Paulo,

Acredito que minha tradu��o estava certa ou pelo menos n�o comprometia
muito.O que estava errado era o p(p(x))=0 no site do John Scholes...
----- Original Message -----
From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, December 21, 2002 6:16 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:


> Ola Prof Morgado e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante
> efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto. Considerem
agora
> o problema :
>
> Sejam "a", "b" e "c" tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c  e
> p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real.
>
> Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem ser as
> traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao literal do
> enunciado de um idioma para outro ...
>
> Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus, que os
> cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de ideias,
me
> lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um dos
> proverbios deste Profeta : "Nao respondas ao tolo segundo a sua
estulticia,
> para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele"
>
> Um abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 7,1812,211202
>
>
>
>
>
>
> >From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: [obm-l] Re:
> >Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200
> >
> >Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equa�ao p(x)
=
> >x reduz-se a  x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu
discriminante
> >eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH VERDADE
que
> >p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida equa�ao.
Assim
> >como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam mensagem
de
> >Salvador Addas Zanata).
> >Pe�o desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens
> >anteriores, pois ele estah errado.
> >Morgado
> >
> >Eder wrote:
> >
> >>Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado �:
> >>
> >>
> >>
> >>Define p(x)=ax�+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0
has
> >>no real roots.
> >>
> >>
> >>
> >>     ----- Original Message -----
> >>
> >>     From: A. C. Morgado <mailto:morgado@centroin.com.br>
> >>
> >>     To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>
> >>     Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
> >>
> >>     Subject: Re: [obm-l] Re:
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>     Wagner wrote:
> >>
> >>>     Oi pessoal !
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>     2)Vou supor que a,b,c,x sejam n�meros reais e que a � diferente
> >>>     de zero.
> >>>
> >>>      Prove que se p(x)=x n�o tem nenhuma raiz real, ent�o o m�dulo da
> >>>     ordenada do m�ximo ou do m�nimo de f(x)=p(p(x)) � maior que o
> >>>     m�dulo da ordenada do m�ximo ou do m�nimo de g(x)=p(x) -x e
> >>>     depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
> >>>     f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x � o mesmo, assim se a segunda
> >>>     fun��o n�o tem raiz real a primeira tamb�m n�o tem.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>     Prova: Primeiro vou provar a segunda hip�tese: g '' (x) =2a  ;
> >>>      f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>
> >>>
> >>>     f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x)
> >>>     =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
> >>>
> >>>     Se a segunda hip�tese � verdadeira ent�o f '' (x)/g '' (x) > 0
> >>>     => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
> >>>
> >>>     2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0  => h(x) =
> >>>     6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.
> >>>
> >>>     Como o coeficiente dominante de h(x) � positivo, devemos apenas
> >>>     provar que h(x) n�o possui ra�zes reais.
> >>>
> >>>     Se h(x) n�o possui ra�zes reais ent�o :  36(a^2)(b^2)
> >>>     -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
> >>>
> >>>     12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 =>
> >>>     b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>     Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considera��es:
> >>>
> >>>     Devemos ter que p(x)=x n�o tem ra�zes reais. Logo (b-1)^2 -4ac <
> >>>     0  => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,
> >>>
> >>>     logo ( 1 ) � verdadeira se p(x) = x n�o possui ra�zes reais CQD.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>     Devemos provar agora a primeira hip�tese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1
> >>>     =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c
=
> >>>
> >>>     =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =>
> >>>
> >>>     m�dulo da ordenada de m�ximo ou m�nimo de g (x) � |
> >>>     {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
> >>>
> >>>     f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax
> >>>     +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b)   ; f ' (x) =0 =>
> >>>
> >>>     (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
> >>>
> >>>     O primeiro caso implica em: x= -b/2a
> >>>
> >>>     O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +
2(a^2)b).
> >>>
> >>>     Vamos provar que delta < 0 :  4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) <
> >>>     0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ).
> >>>
> >>>     Como ( 1 ) j� foi provado, ent�o ficamos s� com o caso x= -b/2a =>
> >>>
> >>>     f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)
> >>>     +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
> >>>
> >>>     =a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2)
> >>>     -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
> >>>
> >>>     m�dulo da ordenada de m�ximo ou m�nimo de f (x) � | {a(c^2)
> >>>     -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
> >>>
> >>>     Como a segunda hip�tese � verdadeira ent�o se g(x) tem m�ximo
> >>>     definido f(x) tamb�m tem, e se g(x)
> >>>
> >>>     tem m�nimo definido f(x) tamb�m tem. Temos que se p(x) =x n�o tem
> >>>     raiz real f '(x) e g'(x) s� tem uma
> >>>
> >>>     raiz real, note que se a > 0, g(x) tem m�nimo e se a < 0, g(x)
> >>>     tem m�ximo. Logo para provar a primeira hip�tese, temos
> >>>
> >>>     que considerar 2 casos : a > 0 e a < 0.
> >>>
> >>>     Suponha que a primeira hip�tese seja falsa:
> >>>
> >>>     a > 0 => y > z e y,z > 0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a
> >>>     -b/2a +1/4a +c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
> >>>
> >>>     -4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 =>
> >>>     16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a) < 0
> >>>
> >>>     Considere ( 2 ) uma fun��o do 2� grau de vari�vel a. Temos a > 0,
> >>>     logo:
> >>>
> >>>     64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0
> >>>     => 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ).
> >>>
> >>>     De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 < -(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 .
> >>>     Absurdo !
> >>>
> >>>     Para o caso a < 0 => y > z, temos um racioc�nio an�logo, provamos
> >>>     que se a < 0, ent�o h(a) > 0, logo o delta de h(a)
> >>>
> >>>     � negativo, o que nos leva a conclus�o de que (b^2 -4ac)^2 < 0
> >>>     Absurdo !
> >>>
> >>>     Logo a primeira hip�tese � verdadeira, porque � absurdo que ela
> >>>     seja falsa se a segunda hip�tese � verdadeira,
> >>>
> >>>     Logo p(x)=x n�o ter ra�zes reais implica na segunda hip�tese qua
> >>>     implica na primeira.
> >>>
> >>>     Se a primeira e a segunda hip�teses s�o ambas verdadeiras, isso
> >>>     implica que p(p(x))=0 n�o tem nenhuma raiz real
> >>>
> >>>     CQD.
> >>>
> >>>      Isso eh falso. Se  p(x) = x^2 +3x+2, a equa�ao p(p(x))=0 tem
> >>>uma raiz real entre  -1  e  0.
> >>>
> >>>     OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei sem querer antes, ele
> >>>     estava com a resposta pela metade.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>     Andr� T.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>         ----- Original Message -----
> >>>
> >>>         From: Eder <mailto:edalbuquerque@uol.com.br>
> >>>
> >>>         To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>>
> >>>         Sent: Thursday, December 19, 2002 5:32 PM
> >>>
> >>>
> >>>         Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos:
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>         1)Um tri�ngulo tem �rea 1 e lados a > = b > = c.Prove que b�
> >>>         > = 2.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>         2)Defina p(x)=ax�+bx+c.Se p(x)=x n�o tem nenhuma raiz real,
> >>>         prove que p(p(x)) = 0 tamb�m n�o tem nenhuma raiz real.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>         Grato pela ajuda.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>         Eder
> >>>
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