[obm-l] Serie de tan t [era n�s de bernoulli]

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Nov 21, 2002 at 06:39:35PM -0200, Luis Lopes wrote:
> > mas voc� deve encontrar isso em bons (realmente bons) > livros de c�lculo.
> � poss�vel, mas nunca vi. Tamb�m � verdade que
> nunca os consultei tendo este problema em mente.
> De qualquer jeito...
> 
> > Ou voc� pode tentar deduzir sozinho, n�o � t�o dif�cil
> > assim, especialmente sabendo a resposta.
> .... � isso que procuro. Em praticamente todos os
> livros de c�lculo encontramos as mesmas s�ries:
> ln(1+x), Arctan x, e^x, cosh x, sinh x, cos x, sin x (ver
> Adams, Robert, Single-Variable Calculus).

Encontrei no livro Concrete Mathematics, de Graham, Knuth, Patashnik,
uma se��o sobre n�meros de Bernoulli que deve te interessar.
Vou isolar um esbo�o da demonstra��o que voc� quer. Por defini��o,

t/(e^t - 1) = sum_k B_k/k! t^k

mas

t/(e^t - 1) + t/2 = (t(2 + e^t - 1))/(2(e^t - 1))
                  = t/2 * (e^(t/2) - e^(-t/2))/(e^(t/2) + e^(-t/2))
                  = t/2 * coth(t/2)

� �mpar donde

(t/2) * coth(t/2) = sum_k B_(2k)/(2k)! t^(2k)
 
t * coth t = sum_k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k)

cot t = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)

mas

tan t = cot t - 2 cot 2t

      = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! ( t^(2k-1) - 2 (2t)^(2k-1) )

      = sum_{k > 0} (-1)^k 2^(2k) (1 - 2^(2k)) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)

[]s, N.


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