[obm-l] Re: exponencial

["Alexandre Tessarollo" <tessa@xxxxxxxx>]

>Resolva:
>[( raiz quadrada de 3) + 1]^x + [( raiz quadrada de 3) - 1]^x = 8
>
>
>Graficamente vejo duas solu��es: uma positiva ( x = 2)e outra
>negativa.
>Me pediram algebricamente. Divido com voc�s a dor de cabe�a.

=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+


 Nooossa, quanto tempo faz que n�o escrevo aqui... Bem, de qq forma, vamos l�, de cara partindo p/a grosseria: Vou usar o Bin�mio de Newton, que diz que
(x+a)^n=sum[p=0, n]{Cn,p*(a)^p}*(x)^(n-p))
Leia-se "... igual a somat�rio, de p=0 at� p=n, de ..."

 No nosso caso, vou expandir (sqrt3+1)^x + (sqrt3-1)^x de uma s� vez. Fica:
sum[p=0, x]{Cx,p*(1)^p*(sqrt3)^(x-p)} + sum[p=0, x]{Cx,p*(-1)^p*(sqrt3)^(x-p)}

Juntando num mesmo somat�rio e colocando a combina��o e o sqrt3 em evid�ncia
sum[p=0, x]{Cx,p*(sqrt3)^(x-p)((1)^p+(-1)^p)}

Devido ao (1)^p+(-1)^p, podemos afirmar que o somat�rio s� vai considerar as parcelas com p=2k. Substituindo p por 2k e admitindo x PAR, temos:
sum[k=0, x/2]{Cx,2k*(sqrt3)^(x-2k)*(2)} =
= 2*sum[k=0, x/2]{Cx,2k*(sqrt3)^(x-2k)}

 Se x for �mpar, o somat�rio vai de k=0 at� k=(x-1)/2. At� aqui eu acho que est� tudo certo. Agora pretendo calcular os somat�rios em separados, isto �, calcular o sum de Cx,2k e depois o de (sqrt3)^(x-2k).

Primeiro, o de Cx,2k. Montando o tri�ngulo de Pascal, temos

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
etc

Vale lembrar que o somat�rio de Cx,p � a soma da linha e que, o n�mero i da linha � dado por i=x+1. (Lembra que x era o expoente dos nossos bin�mios?)
Eliminando os termos da forma Cx,2k+1, temos

1
1 
1 1
1 3 
1 6 1

Creio que seja f�cil ver que a soma da linha i � 2^(i-2).Ou, em outras palavras, digo, vari�veis, o somat�rio de Cx,2k vale 2^(x-1).
 
Agora, calculemos o de (sqrt3)^(x-2k). Se vc substituir os valores iniciais de k, ver� que se trata de uma PG. Calculando a soma dessa PG num rascunho, achei (3^(x/2+1)-1)/2.

Tomando o somat�rio que t�nhamos e substituindo pelos valores encontrados
2*sum[k=0, x/2]{Cx,2k*(sqrt3)^(x-2k)}=
= 2*sum[k=0, x/2]{Cx,2k}*sum[k=0, x/2]{(sqrt3)^(x-2k)}=
= 2*2^(x-1)*(3^(x/2+1)-1)/2 =
= 2^(x-1)*(3^(x/2+1)-1)

Bem, lembrando n�s s� trabalhamos o lado esquerdo da igualdade proposta pelo problema, podemos igualar o nosso resultado ao lado direito da igualdade. Teremos:

2^(x-1)*(3^(x/2+1)-1)=8 PARA X PAR (l� no meio dos somat�rios eu supus que x era par, lembra?)

Para x �mpar, basta fazermos algumas altera��es. Se n�o errei nada, fica
2^(x-1)*sqrt3*(sqrt3^(x+1)-1)=8


 E � no momento em que lembramos que x=2 era raiz que eu lembro porque tinha parado de escrever e-mails na madruga :-) Se vc fizer x=2 na equa��o de x par, vc acha que 16=8!! Ou eu acabei de revolucionar completamente a matem�tica ou, o que � mais prov�vel, cometi algum erro crasso nas minhas contas. J� revisei-as umas 3 vezes, mas n�o consegui detect�-lo. Algu�m se habilita?

[]'s

Alexandre Tessarollo
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