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[obm-l] Re: [obm-l] O car�ter n�o enumer�vel de R



On Thu, Sep 05, 2002 at 05:48:56PM -0300, 498 - Artur Costa Steiner wrote:
> Um abra�o a todos os amigos deste grupo no qual acabei de me inscrever!
> 
> O assunto que mencionei sempre me intriga um pouco. H� uma cl�ssica 
> demonstra��o de que R (o conjunto dos reais)n�o � numer�vel e que pode 
> ser encontrada na maioria dos livros sobre An�lise. Estas provas  
> baseiam-se no fato de que, nos espa�os euclidianos, conjuntos perfeitos 
> n�o s�o numer�veis. Logo, um ponto chave em tais provas � que os 
> elementos do espa�o s�o pontos de acumula��o do mesmo.
> 
> Sabemos que todo elemento de R � ponto de acumula��o. Mas, e este � o 
> ponto que me intriga, tal conclus�o depende da m�trica definida em R. 
> Na  m�trica euclidiana usual tal fato � demonstrado (admitindo-se que R 
> seja completo). Mas, se tomarmos, por exemplo, a chamada m�trica 
> discreta (d(x,y)=1, se x<>y e d(x,y)=0 se x=y))ent�o nenhum elemento de 
> R (ou do espa�o m�trico em quest�o) � ponto de acumula��o. A provas que 
> conhe�o sobre a n�o enumerabilidade de R (que consistem em se construir 
> uma seq��ncia de intervalos fechados aninhados) n�o mais se aplicam na 
> m�trica discreta.
> 
> N�o me parece plaus�vel que um espa�o m�trico seja enumer�vel numa 
> m�trica (ou topologia) e n�o numer�vel em outra, mas ser� que existe 
> uma prova de que R (ou um espa�o m�trico qualquer) n�o � numer�vel a 
> qual seja independente da forma segundo a qual definamos seus conjuntos 
> abertos?

De fato, o fato de um conjunto ser ou n~ao enumer'avel independe
da m'etrica, topologia, ou de qualquer outra estrutura:
depende apenas do conjunto. Considere o seguinte teorema/demonstra,c~ao:

Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A.
Ent~ao toda fun,c~ao de A em P(A) 'e n~ao sobrejetora.

De fato, 

X = { x in A | x n~ao pertence a f(x) }

se X = f(x) temos

x pertence a X  <==> x n~ao pertence a X

um absurdo.

Isso demonstra que o conjunto das partes de um conjunto infinito
'e sempre n~ao-enumer'avel. Mas podemos criar uma c'opia de P(N)
(partes de N, o conjunto dos naturais) dentro de R, basta representar
cada subconjunto de N pela cadeia infinita correspondente de 0 e 1,
interpretada como uma expans~ao decimal infinita.

'E bem verdade que o que eu acabo de construir 'e um conjunto de Cantor,
mas n~ao usei a m'etrica de R...

[]s, N.
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