Re: [obm-l] teo dos numeros

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Marcelo Souza,

defini��o. Sejam a, b, c, ..., w n�meros inteiros positivos. O m�ximo
divisor comum a todos eles � o n�mero D tal que D|a, D|b, D|c, ..., D|w e se
D'|a, D'|b, D'|c, ..., D'|w ent�o D'|D. Dizemos que a, b, c, ..., w s�o
primos entre si se o m�ximo divisor comum for a unidade (=1).

Ida. se os pares s�o primos entre si ent�o s�o todos primos entre si. Se
todos n�o fossem primos entre si existiria D, diferente de 1, dividindo
todos eles, logo os pares e da� os pares teriam D como divisor comum e n�o
seriam primos entre si, absurdo.

Volta. se todos s�o primos entre si ent�o os pares s�o primos entre si.
FALSO! Tome por exemplo a = 2*3, b=3*5, c=2*5. Temos mdc(a,b) = 3, mdc(a,c)
= 2 e mdc(b,c) = 5 no entanto n�o existe divisor comum aos tr�s, logo s�o
primos entre si.

Na �ltima olimp�ada regional da regi�o da grande porto alegre caiu uma
quest�o sobre isso.
Problema.
Prove que existe um conjunto S de infinitos n�meros inteiros positivos que
satisfaz as seguintes condi��es:
(i) quaisquer dois elementos possuem divisores comuns maiores do que 1
(ii) qualquer numero inteiro possui um m�ltiplo no conjunto
(iii) nenhum elemento � primo
(iv) n�o existe um n�mero inteiro maior do que 1 que divide todos elementos

Um abra�o!
Eduardo Casagrande Stabel.
Porto Alegre, RS.


From: Marcelo Souza

Ola pessoal da lista
como faco para provar o seguinte:
- Prove que se n numeros sao primos entre si em pares, entao todos eles sao
primos entre si.
Parece-me que a volta naum vale, mas naum consigo mostrar um contra exemplo,
alguem poderia me indicar como faco?
valeu
Marcelo



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