RES: [obm-l] trigonometria

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

>> cos(cos(cos(cos x))) = sen(sen(sen(sen x)))

	Esta equação não tem raízes reais. De fato, vamos mostrar que

	f(x)=sin(sin(sin(sinx))) < cos(cos(cos(cosx)))=g(x)

para qualquer x real, ok? Deu um trabalhão para eu achar esta resposta, por
favor confirmem-na.

	---///---

	LEMA 1: |sina+cosa| <= sqrt(2) para qualquer a.
	PROVA: De fato, sina+cosa = sqrt(2).sin(a+pi/4).

	LEMA 2: Se a,b estão em [0,Pi/2], então sinb < cosa equivale a a+b <
pi/2
	PROVA: De fato, sinb < cosa = sin(pi/2-a) sse b < pi/2-a, já que
seno é crescente no intervalo [0,Pi/2].

	---///---

      Vamos começar com x em [0,Pi/2]. Temos:
	PELO LEMA 1: 0 <= sinx+cosx <= sqrt(2) < pi/2
	PELO LEMA 2: (Tome b=sinx, a=cosx)
		0 < sin(sin(x)) < cos(cos(x)) < 1 < pi/2
	MAS SENO É CRESCENTE EM [0,pi/2]:
		0 < sin(sin(sin(x))) < sin(cos(cos(x))) < 1
	USANDO ISSO E LEMA 1 (com a = cos(cos(x)))
		sin(sin(sin(x)))+cos(cos(cos(x))) <
sin(cos(cos(x)))+cos(cos(cos(x))) <
	< sqrt(2) < pi/2
	PELO LEMA 2: Tome b=sin(sin(sinx)) e a=cos(cos(cosx))
		sin(sin(sin(sin(x)))<cos(cos(cos(cos(x))

	Essa era a parte difícil. O resto é mais tranquilo...

	---///---

	Agora, note que cos(cos(Pi-x))=cos(-cos(x))=cos(x) e
sin(Pi-x)=sin(x). Portanto, f(x)=f(Pi-x) e g(x)=g(Pi-x). Assim, se x estiver
em [Pi/2,Pi], então Pi-x está em [0,Pi/2], e portanto:
	f(x) = f(Pi-x) < g(Pi-x) = g(x)

	Para x em [-Pi,0], não é difícil ver que:
	f(x) <= 0 < g(x)

	Enfim, ambas as funções são periódicas de período 2Pi; como
f(x)<g(x) em [-Pi,Pi], provamos que f(x)<g(x) para todo x real. Enfim, a
equação acima não tem raiz real.

	Que tal? Algum erro? Se tudo estiver correto, creio que mostramos
que sinsinsinsin...sinx < coscoscoscos...cosx quando ambos os lados tenham o
mesmo número **par** de aplicações da função trigonométrica.

	Abraço,
		Ralph
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