[obm-l] Ajuda - Limite....

["Fernando Henrique Ferraz P. da Rosa" <mentus@xxxxxx>]

         Estou tentando resolver esse limite faz tempo mas n�o est� saindo 
de jeito algum.. � o seguinte:
     lim [x -> 0+] x^(tan(x�)).

Meus esbo�os:
             x -> 0... tan(x�) -> 0.... temos 0^0...
             Colocando na forma exponencial: (exp(y) = e^(y)):
              x^tan(x�) = exp(ln(x^tan(x�)) = exp(tan(x�).ln(x)).
              Ficamos ent�o com o seguinte limite:
      lim [x-> 0+] tan(x�).ln(x).
              tan(x�) -> 0
              ln(x) -> -infinito
              Temos entao 0.-infinito.. indetermina��o...
              'Transformando' isso numa fra��o para poder usarmos L'Hospital:
a) Fazendo tan(x�).ln(x) = ln(x)/(1/tan(x�))
               lim [x-> 0+] ln(x)/(1/tan(x�))
               ln(x) -> -infinito
               1/tan(x�))  = cotg(x�) -> infinito
                infinito/infinito outra indeterminacao.. aplicando L'Hospital:
                lim [x-> 0+] ln(x)/cotg(x�) = lim [x->0+] 
(1/x)/-2x.cossec�(x�) =
                lim [x-> 0+] 1/(-2x�cossec�(x�))
                Agora temos -2x� -> 0
                 e cossec�(x�) -> infinito...
                0.infinito.. mais uma indeterminacao....
                1/0.infinito.. Nao podemos mais aplicar L'Hospital e sei la 
como sair daqui...

b) Outra opcao serial fazer tan(x�).ln(x) = tan(x�)/(1/ln(x)), dai:
                 lim [x->0+] tan(x�)/(1/ln(x))..
                  dai temos tan(x�) -> 0
                   1/ln(x) -> 0
                  0/0, indetermina��o, aplicamos L'Hospital:
                 lim [x->0+] tan(x�)/(1/ln(x)) = lim [x->0+] 
2x.sec�(x�)/(-1/ln�(x).x) =
                 lim [x->0+] 2x�.sec�(x�).ln�(x).x
                 2x� -> 0
                  sec�x� -> 1
                  ln�(x) -> infinito
                  x -> 0...
                  0.1.0.infinito.. epa.. outra indetermina��o...

c)... j� esgotei todas as id�ias que me vieram e ainda n�o consegui sair 
disso.. alguem tem alguma luz?

BTW... a resposta � 1.. Ent�o esse limite (lim [x-> 0+] tan(x�).ln(x)) tem 
que dar 0.



"As long as a branch of science offers an abundance of problems,
     so long it is alive."
           David Hilbert.

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[]'s
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
mentus@gmx.de
Estat�stica USP [ http://www.linux.ime.usp.br/~feferraz ]
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