Re: [obm-l] Axiomas de Peano

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

Aproveitando que o assunto � axiomas de peano, � poss�vel definir aritm�tica 
usando s� os axiomas de peano (usando l�gica de 1�ordem e os s�mbolos 0 e 
sucessor de)? D� pra fazer uma esp�cie de teorema da recurs�o nos axiomas de 
Peano? Ou ser� necess�rio usar l�gica de segunda ordem, ou esquema de prova?


>From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Axiomas de Peano
>Date: Tue, 18 Jun 2002 16:03:38 -0300
>
>At 15:29 18/06/02 -0300, you wrote:
>>Na Eureka 3, p. 26,  h� um artigo de Elon Lages Lima chamado "O Princ�pio 
>>da
>>Indu��o", onde o autor afirma que o conjunto N dos n�meros naturais �
>>caracterizado pelas seguintes propriedades:
>>
>>A) Existe fun��o s: N -> N, que associa a cada n pertencente a N um 
>>elemento
>>s(n) pertecente a N, chamado o sucessor de n.
>>
>>B) A fun��o s: N-> N � injetiva.
>>
>>C) Existe um �nico elemento 1 no conjunto N, tal que 1 != s(n) para todo n
>>pertencente a N.
>>
>>D) Se um subconjunto X contido em N � tal que 1 pertence a N e s(X) est�
>>contido em X.
>
>N�o me lembro do artigo, mas isto est� certo mesmo?
>  Acho que o certo � "se um subconjunto X contido em N � tal que 1 pertence 
>a N e se n est� em X implica que s(n) tamb�m est�, ent�o X=N" (princ�pio de 
>indu��o)
>
>Com isso o conjunto que voc� falou (V) n�o satisfaz a �ltima condi��o.
>
>Bruno Leite
>http://www.ime.usp.br/~brleite
>
>
>
>>As afirma��es A, B, C e D s�o os axiomas de Peano.
>>
>>Agora vem a minha d�vida. Imagine o conjunto de n�meros:
>>V = {0, 1, 2, 3, ...} U {a}, onde o elemento 'a' n�o pertence a {0, 1, 2, 
>>3,
>>...}
>>e a fun��o injetiva s: V -> V onde:
>>s(x) = a, se x=a; sen�o s(x) = x+1
>>
>>Temos, ent�o, o conjunto V e a fun��o s que satisfazem os axiomas de 
>>Peano.
>>Dessa forma, podemos dizer que V � o conjunto dos n�mero naturais, mas n�o
>>�!!!!!
>>Qual o problema a�???
>>
>>Algu�m pode esclarecer a minha d�vida?
>>
>>Obrigado
>>
>>Vinicius Fortuna
>>
>>
>>
>>
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>>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
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