Re: [obm-l] Axiomas de Peano

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Jun 18, 2002 at 03:29:47PM -0300, Vinicius Jos� Fortuna wrote:
> Na Eureka 3, p. 26,  h� um artigo de Elon Lages Lima chamado "O Princ�pio da
> Indu��o", onde o autor afirma que o conjunto N dos n�meros naturais �
> caracterizado pelas seguintes propriedades:
> 
> A) Existe fun��o s: N -> N, que associa a cada n pertencente a N um elemento
> s(n) pertecente a N, chamado o sucessor de n.
> 
> B) A fun��o s: N-> N � injetiva.
> 
> C) Existe um �nico elemento 1 no conjunto N, tal que 1 != s(n) para todo n
> pertencente a N.
> 
> D) Se um subconjunto X contido em N � tal que 1 pertence a N e s(X) est�
> contido em X.
> 
> As afirma��es A, B, C e D s�o os axiomas de Peano.

A pergunta � o que significa "caracterizado". A resposta � que se A � um
conjunto com um elemento especial a1 e f � uma fun��o f: A -> A
que satisfazem as seguintes condi��es:

B') f � injetora;

C') a imagem de f � A - {a1};

D') para todo subconjunto X de A, se a1 pertence a X e f(X) est� contido
    em X ent�o X = A;

ent�o existe uma �nica fun��o bijetora g: N -> A com
g(1) = a1 e g(s(n)) = f(g(n)) para todo N.

Podemos pensar em g como uma identifica��o entre N e A.
Assim A n�o precisa ser o conjunto dos naturais, podemos ter
A = Z se definirmos

f(n) = -n-1 se n >= 0
     = -n   se n < 0

> 
> Agora vem a minha d�vida. Imagine o conjunto de n�meros:
> V = {0, 1, 2, 3, ...} U {a}, onde o elemento 'a' n�o pertence a {0, 1, 2, 3,
> ...}
> e a fun��o injetiva s: V -> V onde:
> s(x) = a, se x=a; sen�o s(x) = x+1

Este seu exemplo n�o satisfaz D', tome X = {0,1,2,...}.
Temos que 0 pertence a X, s(X) est� contido em X mas X != V.

> 
> Temos, ent�o, o conjunto V e a fun��o s que satisfazem os axiomas de Peano.
> Dessa forma, podemos dizer que V � o conjunto dos n�mero naturais, mas n�o
> �!!!!!
> Qual o problema a�???
> 
> Algu�m pode esclarecer a minha d�vida?

Espero que n�o haja d�vida aqui quanto a se 0 � ou n�o natural,
uma quest�o puramente de defini��o/nota��o. Parece que o pr�prio
Peano em uma vers�o excluiu 0 (como o Elon fez) e em outra incluiu 0
(como a maioria dos textos modernos de teoria dos conjuntos ou l�gica fazem).

[]s, N.
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================