Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mais duvidas de analitica/geo plana

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Caro Peterdirichlet.

> Meu,pelo que saiba essas coisas de analitica se provam na porrada e sem
> escrupulos.Basta verificar isso tra�ando paralelas aos ejes do sistema
cartesiano.
> Quanto ao paralelogramo da para usar complexos.Depois eu jogo essa
solu�ao.
> Peterdirichlet
>

N�o sei o que voc� quer dizer por "sem escr�pulos", mas pelo que entendi
voc�s n�o devem ter recebido uma mensagem que enviei � lista e que mostrava
aquela rela��o a ver com um determinante que nada tem de "misterioso".

O modo como eu fiz n�o � violento, portanto ningu�m deve sair ferido...

Reenvio abaixo a minha mensagem.

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Ola!

Um jeito de esclarever sua d�vida � fazer o seguinte.

Sejam (a,b) e (c,d) dois pontos distintos do plano. Prove o seguinte: Se o
ponto (x,y) pertence � reta que passa pelos dois pontos ent�o existe um real
t tal que
t*(a,b) + (1-t)*(c,d) = (x,y)

Repare que o grafico da fun��o t -> t*(a,b) + (1-t)*(c,d) � uma reta, e
calcule t=0 e t=1 para ver que ela passa pelos pontos (a,b) e (c,d).

Depois de provar isso, use as propriedades do determinante.

Se o determinante for
     | x  y   1 |
     |  a b   1 | = 0
     |  c d   1 |
ent�o as linhas s�o linearmente dependentes. Como as duas �ltimas s�o
linearmente independentes segue que a primeira � combina��o das duas �ltimas
(x,y,1) = q*(a,b,1) + p*(c,d,1)

Temos q + p = 1, substitui q = t e p = 1 - t
(x,y,1) = t*(a,b,1) + (1-t)*(c,d,1)
o que implica
(x,y) = t*(a,b) + (1-t)*(c,d)
e da� (x,y) pertence � reta que passa por (a,b) e (c,d).

Reciprocamente, se (x,y) pertence � essa reta, existe t tal que
(x,y) = t*(a,b) + (1-t)*(c,d)
e da�
(x,y,1) = t*(a,b,1) + (1-t)*(c,d,1)
o que implica que (x,y,1) � combina��o linear de (a,b,1) e (c,d,1) da� o
determinante
    | x  y   1 |
    |  a b   1 | = 0
    |  c d   1 |
o que completa a prova.

Em rela��o � primeira observa��o, a saber, que todos os pontos da reta s�o
obtidos multiplicando-se
| a  b | | x |
| c  d |.| y |
tenho que dizer que ela n�o � verdadeira. Por que? Ponha (a,b) = (1,0) e
(c,d) = (0,1), todos que estudaram um pouco de matrizes sabem que todos os
pontos do plano podem ser obtidos fazendo a multiplica��o matricial a� de
cima, portanto n�o se trate de uma reta. Uma possibilidade, em termos de
multiplica��o seria
| a  c | | t  |
| b d |.|1-t|
o que � igual � primeira observa��o do e-mail.

Um abra�o!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
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