[obm-l] Re: [obm-l] x² + y²

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Ola pessoal!

Se temos dois números, x e y,  é conhecida sua soma S=x + y e seu produto
P=xy, então podemos determinar os dois números resolvendo uma equação de
segundo grau.

Repare que y = S - x e daí substituindo x em P temos
P = x(S - x)
P - Sx + x^2 = 0
x^2 - Sx + P = 0

O mesmo raciocínio para x = S - y e aí temos
y^2 - Sy + P = 0

Essa equação polinomial "bonita" se repete em casos muito mais gerais. Por
exemplo, se três números, x, y e z, são tais que se conhece sua soma S = x +
y + z, a soma de pares Q = xy + xz + yz e seu produto P = xyz dá pra mostrar
que (não é difícil):
x^3 - Sx^2 + Qx - P = 0

E a mesma expressão vale para y e z no lugar de x.

Esse procedimento também fornece uma fatoração desse polinômio
k^3 - Sk^2 + Qk - P = (k - x)(k - y)(k - z)

E esse resultado pode ser aumentado para uma grande quantidade de números.

Talvez esse assunto seja de conhecimento de muita gente. Mas acho que alguns
da lista não conhecem muita coisa sobre ele.

Um abraço!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.


From: "Augusto César Morgado" <morgado@centroin.com.br>
> O usual nesses casos eh por S=x+y  e  P=xy
> Ficaria  S+P=71 e SP=880.
> ......
>
> Rafael WC wrote:
>
> >Olá Pessoal!
> >
> >Esse exercício eu resolvi, mas não foi do jeito que eu
> >queria. Eu acabei fazendo o jeito convencional de
> >isolar o x da primeira equação e colocar na segunda.
> >Mas deve haver um jeito de se chegar a resposta
> >manipulando as equações dadas sem que precisemos
> >encontrar os valores de x e y. Vejam se vocês
> >conseguem.
> >
> >Sejam x e y inteiros positivos tais que:
> >xy + x + y = 71
> >x²y + xy² = 880.
> >
> >Determine x² + y².
> >
> >Talvez facilite saberem que se trocarmos as variáveis,
> >escrevendo x no lugar de y as equações não mudam. Isso
> >quer dizer que as respostas são (x, y) e (y, x). Além
> >disso, os valores que encontrei foram x = 11 e y = 5
> >(ou vice-versa).
> >
> >Um abraço,
> >
> >Rafael.
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