Re: [obm-l] Somatorio de Combinacoes

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Vou dar uma resposta parcial.

Lema: para n >= 1,

A_n = \sum_{i=n}^{2n-1} \binom{i-1}{n-1} 2^{1-i} = 1.

Para o seu resultado, temos:

S_n = \sum_{i=n/2-1}^{n-3} \binom{i}{n/2-1} (1/2)^i

Faça n=2l. Podemos escrever:

S_n = \sum_{i=l-1}^{2l-3} \binom{i}{l-1} (1/2)^i

Faça i = k-1 e escreva

S_n = \sum_{k=l}^{2l-2} \binom{k-1}{l-1} 2^{-k+1}

Complete a soma para ficar na forma da do Lema.

S_n = \sum_{k=l}^{2l-1} \binom{k-1}{l-1} 2^{-k+1} - \binom{2l-2}{l-1}
2^{-2l+2}

S_n = 1 - \binom{n-2}{n/2-1} 2^{-n+2}.

Agora resta mostrar que

\binom{n-2}{n/2-1} 2^{-n+2} = \binom{n-3}{(n/2) - 1} (1/2)^{n-3}.

[]'s
Luis

-----Mensagem Original-----
De: Rodrigo Malta Schmidt <rodrigo.schmidt@ic.unicamp.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: terça-feira, 16 de abril de 2002 01:52
Assunto: Re: [obm-l] Somatorio de Combinacoes


>
> Luis,
>
> A resposta tambem pode ser:
>
>  S_n = 1 - \binom{n-3}{(n/2) - 1} (1/2)^{n-3}.
>
> Interessante eh que as duas formas sao equivalentes.
>
> Voce poderia me dizer como voce chegou na respota. Qual foi o seu
> raciocinio??
>
> Abraco,
> Rodrigo
>
>
> Luis Lopes wrote:
> >
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Vc tem a resposta?
> >
> > Encontrei
> >
> > S_n = 1 - \binom{n-2}{(n/2) - 1} (1/2)^{n-2}.
> >
> > []'s
> > Luis
> >
> > -----Mensagem Original-----
> > De: Rodrigo Malta Schmidt <rodrigo.schmidt@ic.unicamp.br>
> > Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Enviada em: sábado, 13 de abril de 2002 09:52
> > Assunto: [obm-l] Somatorio de Combinacoes
> >
> > >
> > > Ola pessoal,
> > >
> > > Alguem sabe simplificar este somatorio, dado um numero par n:
> > >
> > > Somatorio em i variando de (n/2)-1 ate n-3 de C[i,(n/2)-1] * (1/2)^i
> > >
> > > onde C[i,j] eh o numero de combinacoes de i elementos agrupados j a j.
> > >
> > > Eu ja tentei varias coisas em cima do Triangulo de Pascal mas nao
obtive
> > > bons resultados.
> > >
> > > Obrigado,
> > > Rodrigo


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================