Re: [obm-l] continuidade

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Ola a todos!

O problema que eu propus ao Paulo Santa Rita foi o seguinte:

Seja f uma funcao continua definida em [0,1] que acaba onde comeca, ou seja
f(0)=f(1)=0.
Para quais valores de K (em (0,1/2] ) podemos garantir que exista um x em
[0,1-K] tal que f(x) = f(x + K)?

Apesar de parecer diferente, ele tem tudo a ver com o problema que estava na
lista.

Eu estava tentando demonstrar que para K = 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... nos
sempre podiamos garantir a existencia do x e que para os outros valores
possiveis de K nos nao podiamos garantir a existencia do x.

Para a segunda etapa do que eu propus acima, tentei construir uma funcao
(fixado o K) de forma que f(x) fosse sempre diferente de f(x + K). E
acredito ter conseguido, segue a minha ideia:


Seja n o numero inteiro tal que n.K < 1 < (n + 1).K

Eu vou definir a f nos pontos x = 0, K/2, 2K/2, 3K/2, 4K/2, 5K/2, ...,
2n.K/2, (2n + 1).K/2, (2n+2).K/2, e ela vai ser linear nos x entre esses
pontos. Temos:
f(0) = 0
f(2K/2) = - X
f(3K/2) = - X + Y
f(4K/2) = - 2X + Y
f(5K/2) = - 2X + 2Y
f(6K/2) = - 3X + 2Y
f(7K/2) = - 3X + 3Y
...

Voces ja devem ter percebido o padrao, baixa X depois aumenta Y depois baixa
X
depois aumenta Y... Basta, agora, escolher X e Y de forma que f(1) = 0, pra
qualquer X que escolhermos vai existir um Y que garante isso (eh facil de
ver por que).

Pronto, essa funcao eh tal que f(x) eh sempre diferente de f(x + K). Para
esse fato, eu tenho uma prova geometrica, a qual nao vou
expor por falta de detalhes. Mas desenhando a funcao e fazendo alguma
analise minuciosa, se ve por que. (ta um pouco incompleto... eu sei)

Sem mais nada a acrescentar, fico por aqui.

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.


From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> Ola Duda E demais
> colegas desta lista,
>
> E ai maluco ! Po, voce me propoe o problema e depois publica um outro,
> modificado !?!?!? Quando eu ia comecar a pensar vi a sua mensagem ... mas,
> tudo legal. Nos estamos aqui pra somar mesmo, sem frescura ou viadagem.
>
> Acrescento que pode ser que o universo de funcoes com que voce esta
> trabalhando seja muito amplo. No problema original que voce me enviou
> claramente que para K > 1/2 e possivel construir uma funcao continua que
nao
> atende a condicao que voce exige, se e que eu entendi corretamente a
> questao. Nao seria interessante voce fazer alguma restricao ?
>
> Mas o que eu acho importante te dizer e que sinceramente fico feliz em
> perceber que voce nao precisa de motivacao externa para se interessar pela
> Matematica. E digo mais. Eu TENHA CERTEZA - por experiencia propria - que,
> caso voce seja perseverante, esta sua busca nao sera frustrada e que voce
> vai sentir uma alegria muito grande quando se deparar com algo novo,(
mesmo
> que novo so para voce ) e que estava incognito. O misterio pra descobrir
> qualquer coisa e precisamente este : pensar, pensar e pensar. E nao
desistir
> ate que a ostra entregue a sua perola...
>
> Um Grande abraco pra voce
> Paulo Santa Rita
> 2,1554,150402
> >Ola pessoal!
> >
> >Eu tenho que fazer mais uma correcao.
> >
> >O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso!
> >Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha
> >conseguido provar para todo o k<1/2, contudo cometi um erro desapercebido
e
> >agora estou raticando meu erro.
> >
> >Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que
> >f(0)
> >= 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 =
> >f(x
> >+ 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte
> >maneira:
> >
> >Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e
> >[4/5,1]. E assume os seguinte valores
> >f(0) = 0
> >f(1/5) = 1/5 - (2c)
> >f(2/5) = 2/5 + c
> >f(3/5) = 3/5 - c
> >f(4/5) = 4/5 + (2c)
> >f(1) = 1
> >
> >Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve.
> >
> >Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser
mais
> >cuidadoso daqui em diante.
> >
> >Um abraco!
> >
> >Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
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