Re: [obm-l] Triangulo Harmonico

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Apr 05, 2002 at 03:49:18PM +0000, Paulo Santa Rita wrote:
> Ola Pessoal !
> 
> Numa Mensagem anterior fiz referencia a o TRIANGULO HARMONICO. 
> Surpreendentemente algumas pessoas me contactaram solicitando mais 
> informacoes sobre este TRIANGULO ARITMETICO. Com esta mensagem tento 
> responder a todos.
> 
> 
> O TRIANGULO HARMONICO comeca com a SERIE HARMONICA na vertical ( que e a 
> PRIMEIRA COLUNA do triangulo ), iniciando assim :
> 
> 1
> 1/2
> 1/3
> 1/4
> 1/5
> 1/6
> 1/7
> 1/8
> ...
> 
> Para montar a segunda coluna iniciamos na segunda linha. Cadas termo da 
> segunda coluna e igual a diferenca entre dois outros da primeira coluna : o 
> que esta a sua esquerda e o que esta acima dele. Asim :
> 
> 1 - 1/2=1/2; 1/2 - 1/3=1/6; 1/3 - 1/4=1/12; 1/4 - 1/5=1/20;
> 1/5 - 1/6=1/30; 1/6 - 1/7=1/42; 1/7 - 1/8=1/56.
> 
> 1
> 1/2  1/2
> 1/3  1/6
> 1/4  1/12
> 1/5  1/20
> 1/6  1/30
> 1/7  1/42
> 1/8  1/56
> ...  ...
> 
> Para montar a terceira coluna iniciamos na terceira linha. Cadas termo da 
> terceira coluna e igual a diferenca entre dois outros da segunda coluna : o 
> que esta a sua esquerda e o que esta acima dele. Asim :
> 
> 1/2 - 1/6=1/3; 1/6 - 1/12=1/4; 1/12 - 1/20=1/30; 1/20 - 1/30=1/60
> 1/30 - 1/42=1/105; 1/42 - 1/56=1/126
> 
> 1
> 1/2  1/2
> 1/3  1/6   1/3
> 1/4  1/12  1/12
> 1/5  1/20  1/30
> 1/6  1/30  1/60
> 1/7  1/42  1/105
> 1/8  1/56  1/126
> ...  ...   ...
> 
> Bom. Agora e facil construir o triangulo. A i-esima coluna inicia na
> i-esima linha e cada termo e igual a diferenca entre dois outros da
> (i-1)-esima coluna : o que esta a esquerda e o que fica acima deste.

Se chamarmos a entrada na linha i, coluna j de h(i,j),
sendo h(0,0) = 1, h(1,0) = h(1,1) = 1/2, h(2,0) = 1/3, ...
temos h(n,0) = 1/(n+1) e  h(n,m) = h(n+1,m) + h(n+1,m+1).
Note a semelhança entre esta última fórmula e a dos números binomiais.
Não é difícil mostrar que temos h(i,j) = 1/((i+1) binom(i,j)).

[]s, N.
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