[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração

["Ralph Teixeira" <ralph@xxxxxx>]

Problema:    Fatorar x^10+x^5+1.

Resposta: Comece pensando em t=x^5 e notando que t^2+t+1 = (t^3-1)/(t-1) --
veja abaixo.
No segundo passo, fatorei o x^15-1, mas agora pensando em u=x^3 e
u^5-1 = (u-1)(u^4+u^3+u^2+1). Daí pra frente, é só rearrumar as coisas
cruzando os dedos para dar certo.

x^10+x^5+1 = (x^15-1)/(x^5-1) =
{(x^3-1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1)}/{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)} =
= {(x^3-1)/(x-1)}{(x^12+x^9+x^6+x^3+1)/(x^4+x^3+x^2+x+1)} =
(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)

--//--

Traduzindo em complexos: as raízes de x^10+x^5+1 são as raízes "15as" da
unidade, tirando as raizes quintas, como a minha primeira igualdade acima
mostra. Isto é, se a é uma raiz primitiva de ordem 15 (digamos,
a=e^(2(Pi)i/15)), entao as raizes de x^10+x^5+1 sao

{a, a^2, a^4, a^5, a^7, a^8, a^10, a^11, a^13, a^14}

Mas a^5 e a^10 sao as duas raizes cubicas complexas da unidade! Juntas elas
sao raizes do polinomio

(x^3-1)/(x-1) = x^2+x+1     (=(x-a^5)(x-a^10))

E portanto x^2+x+1 divide x^10+x^5+1. O resto é fazer a conta da divisão e
torcer para dar tudo inteiro.

Abraço,
        Ralph

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