Re: [obm-l] Teorema de Fermat

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 21:27 28/01/02 +0000, you wrote:
>Como? zeta(-2)=1^2+2^2+3^2+4^2+...=0 ??????????

Sim, � isso mesmo, n�o � surpreendente?





� brincadeira! Isto est� errado!!!

A s�rie zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s � um complexo) S� CONVERGE 
PARA Re(s)>1, LOGO S� DEFINE UMA FUN��O PARA Re(s)>1!!!

J� vou explicar isto melhor.

>Isso nem com a l�gica paraconsistente consigo entender!!!
>Pode me explicar o que vc quer dizer com essa "extens�o para todo o plano 
>complexo" (desculpe minha ignor�ncia em teoria dos n�meros e/ou an�lise 
>complexa, mas n�o sei o que � holomorfa, p�lo nem continua��o anal�tica). 
>Se a f�rmula de zeta � a f�rmula q vc mencionou, e a exponencia��o por 
>complexo � a que eu conhe�o (expans�o pelo polin�mio de Taylor da fun��o 
>e^x, n�o consigo imaginar nenhuma ra�z "trivial". O q me parece imediato � 
>que n�o possui raiz real (a parte imagin�ria n�o pode ser nula) posi sei 
>que a fun��o a^x (a>0) n�o tem raiz real.

Imagine uma fun��o f:(disco unit�rio aberto de R^2) -> R, deriv�vel, 
digamos f(x,y)=x+10. Veja que podemos estender esta fun��o de v�rios modos 
(e deixando a extens�o ainda deriv�vel) para um dom�nio maior, digamos R^2. 
Por exemplo, podemos definir g:R^2->R por g(x,y)=x+10, mas h� v�rios outros 
jeitos, do tipo

g(x,y)=x+10 se x<=1
g(x,y)=x^2/2+10,5 se x>1

Quando trocamos fun��es R^2->R por fun��es de C em C, isto nao acontece. 
Por exemplo, se temos uma fun��o do disco unit�rio aberto do plano complexo 
em C que � HOLOMORFA (holomorfa=deriv�vel) S� H� UM MODO DE ESTEND�-LA PARA 
UMA FUN��O HOLOMORFA DE DOM�NIO MAIOR. (um outro exemplo: se f � holomorfa 
e conhecemos f na fronteira de um c�rculo, f j� est� determinada dentro do 
c�rculo. - o que � fant�stico, ali�s...)

Veja, temos uma fun��o (zeta) definida para Re(s)>1, ok? Ela � holomorfa no 
semiplano {z complexo | Re(z)>1}, e pode ser estendida DE UMA �NICA FORMA 
para uma fun��o holomorfa no plano todo, digamos rogerio(s). Isso � a 
continua��o anal�tica!!! [na verdade ela n�o vai ser anal�tica no plano 
todo, ela vai ter um ponto em que ela "explode" - UM POLO - em s=1]

Se re(s)>1, rogerio(s)=zeta(s)=soma(1/n^s), certo?
E se re(s)<1?????? Embora a s�rie de zeta n�o fa�a sentido, a fun��o 
rogerio(s) est� definida!!!
Oras, ent�o DEFINIMOS, para re(s)<1, zeta(s)=rogerio(s).

S� para ser o mais repetitivo poss�vel: zeta(s) s� coincide com a s�rie 
soma (1/n^s)  se Re(s)>1!!!!
Logo zeta(-2) NAO � e NEM PODERIA SER 1^2+2^2+3^2...

Ah, e a exponencia��o com complexos de fato � a da s�rie de Taylor, mas � 
mais f�cil pensar em exp(a+bi)=e^a(cos b +i sen b). Como vc falou, � �bvio 
que zeta n�o tem ra�zes nos reais >1, mas n�o � TAO f�cil ver que ela n�o 
se anula em todo o semiplano re(s)>1.

Espero ter deixado as coisas mais claras, assim como espero n�o ter dito 
nenhuma asneira!

Bruno Leite
www.ime.usp.br/~brleite


>Outro abra��o,
>  Rog�rio
>
>>From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
>>Date: Mon, 28 Jan 2002 03:04:31 -0200
>>
>>At 00:46 28/01/02 +0000, you wrote:
>>
>>>Quais s�o as "ra�zes triviais" da fun��o zeta?
>>
>>Ol� Rog�rio Godel J�nior,
>>
>>A fun��o zeta � definida inicialmente pela equa��o
>>
>>zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s � um complexo)
>>
>>Esta s�rie converge se e s� se a parte real de s �>1. No semiplano (z
>>complexo | Re(z)>1} n�o � dif�cil ver que zeta(s) NUNCA se anula.
>>
>>de fato, temos soma(mu(n)/n^s),n=1,2,...infinito = 1/zeta(s) !!!
>>
>>(para saber o que � mu(n), consulte o email do Nicolau que est� indo junto
>>com este email...l� embaixo)
>>
>>Lembro-me de que quando aprendi esta f�rmula acima (donde segue que zeta
>>nunca se anula) pensei que a hip�tese de Riemann n�o fazia o menor sentido.
>>Afinal, ela dia que os zeros n�o triviais (mas zeta n�o se anula!?) de
>>zeta(s) t�m parte real =1/2 (mas, se Re(s)=1/2, a s�rie nem ao menos
>>converge!!!! )
>>
>>Mas � claro que eu estava errado. Pode-se estender a defini��o de zeta para
>>todo o plano complexo (holomorfa, com um p�lo em s=1) por continua��o
>>anal�tica, e agora sim a fun��o zeta tem ra�zes e faz sentido falar de
>>zeta(1/2+bi)...
>>
>>Pode-se provar que vale o seguinte:
>>
>>$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s} \gamma(s)\cos(s\pi /2)\zeta(s)$
>>
>>(onde gamma � aquela fun��o que o professor de estat�stica usava, lembra? -
>>a que "generaliza" o fatorial)
>>
>>Se vc botar s=2n+1 (n>1 natural) na formula acima, vai descobri que
>>zeta(-2)=zeta(-4)=zeta(-6)=...=0
>>
>>Os inteiros pares negativos s�o chamados "zeros triviais" de zeta.
>>
>>Infelizmente, vc n�o vai achar isso num livro de l�gica modal... Eu acho
>>melhor vc consultar o apostol de teoria anal�ica dos n�meros...
>>
>>Abra��o
>>
>>Bruno Leite
>>www.ime.usp.br/~brleite  (a rede ime est� fora do ar nesse fim de semana)
>>



(...) O email era longo, eu cortei

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