OBM-u

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Ol� gente!!

Puxa, quanta gente discutindo o n�vel universit�rio...
o pessoal dos outros n�veis tamb�m podia discutir suas
provas...

Eu queria elogiar a prova (e especialmente o pessoal
da banca) que foi realmente bem legal. Fazia muito
tempo que n�o me divertia tanto numa prova...

Eu gostei bastante da quest�o 3. N�o sei se a resolvi
inteira, mas acho que cheguei perto... Provei,
diagonalizando A, que se A^n = I, com n m�nimo, temos
n=1,2,3,4 ou 6 e, depois, abrido, mostrei que A deve
ser da forma

[1 0], [-1 0], [a  b], [a   b ] ou [a  b ].
[0 1]  [0 -1]  [c -a]  [c -1-a]    [c 1-a]

Veja que o determinante das duas primeiras � 1. Quanto
�s demais, devemos ter

bc = -(a^2 + 1) ou
bc = -(a^2 + a + 1) ou
bc = -(a^2 - a - 1)

A� tentei provar que existe

B = [x y], xw - yz = 1
    [z w]

tal que A = BXB^-1, onde X � uma das matrizes dadas no
enunciado. Examinando estas matrizes, nota-se que os
valores m�nimos de n tais que X^n = I s�o 1,2,3,4 ou
6. A� associamos, por exemplo,

X = [0 -1]
    [1  0]

com n = 4. Desenvolvendo

[x y][0 -1][w -y]
[z w][1  0][-z x]

e igualando a A chegamos em

+-a = xz + yw
+-b = x^2 + y^2
+-c = -(z^2 + w^2)

com -bc = a^2 + 1. Analisando esta �ltima equa��o
vemos que se a � par isto � poss�vel pois bc = 3 (m�d
4) => b = 1 (m�d 4) e c = 3 (m�d 4) ou vice-versa. �
sempre poss�vel escrever os dois n�meros b e c um na
forma 4k + 1 e outro na forma 4l + 3. E n�o � dif�cl
ver, substituindo, que -bc = a^2 + 1 <=> xw - yz = 1
com uma escolha adequada do sinal +-.

Os casos n=3 e n=6 s�o bem parecidos mas devemos
analisar m�d 6.

[]'s
Shine

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